 | 2007/04/14(Sat) 16:46:28 編集(投稿者)
(1)
正四角錐の底面の正方形に注目すると、これには球の断面である半径aの円が内接していますので、
正方形の一辺の長さは2a
次に正方形の対角線を含み、底面に垂直な平面で切った断面を考えると
これはPを頂角とする2等辺三角形の等しい2辺に半径aの円が接している形になります。
この円の中心がP以外の頂点を結ぶ辺の中点であることに注意して
求める高さをh,等しい2辺の長さをlと置いてh,lに関する方程式を立てます。
円の中心とPと結ぶ線分で、二等辺三角形を合同な二つの直角三角形に分けて
考えると、
まず二等辺三角形の面積について
(1/2)(2a√2)h=2・(1/2)la (A)
又、三平方の定理により
(a√2)^2+h^2=l^2 (B)
(A)(B)を連立して解き
h=a√2
∴高さはa√2です。
(2)
(1)の結果より問題の正四角錐の辺の長さは全て2aであることが分かります。
従って、側面による球の断面は辺の長さ2aの正三角形の内接円となります。
その半径をrとすると、面積について
3・(1/2)2ar=(1/2)2a・a√3
∴r=a/√3
従ってこの円の中心と球の中心との間の距離は
√(a^2-r^2)=a√(2/3)
∴側面の一つからはみ出た球の切れ端の体積をUとすると
球を半径aの円の、中心を通る軸に対する回転体と見て
U=∫[a√(2/3)→a]π(a^2-x^2)dx
=…
よって求める体積をVとすると
V=(1/2)(4/3)πa^3-4U
=…
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