 | ■No2393に返信(pecoさんの記事)
> > (問)α={√(28/27)+1}^1/3-={√(28/27)-1}^1/3とする。
p={√(28/27)+1}^1/3, q={√(28/27)-1}^1/3 とし、α=p-q とします（違ってたらごめんなさい）。
(1)
すると、p^3-q^3=√(28/27)+1-√(28/27)+1=2, pq=(28/27-1)^(1/3)=(1/27)^(1/3)=1/3
ですから、
p^3-q^3=(p-q)(p^2+pq+q^2)=(p-q)( (p-q)^2+3pq)=(p-q)^3+3pq(p-q)
となります。(p-q) を X とおけば、p-q は、次の X の3次方程式
X^3+3pqX-(p^3-q^3)=0, すなわち、X^3+X-2=0
の解です。
(2)
f(x)=x^3+x-2 とおくと、f(x)=(x-1)(x^2+x+2)=(x-1)((x+1/2)^2+7/4)
となるので、f(x)=0 の実数解は、x=1 だけです。(1)でみたように、p-q は f(x)=0の実数解でしたから、p-q=1 です。
※本問のポイントは、pq が実数になることに気づくかどうかです。3次方程式の解の公式、を見聞きしたことのある人には、もしや、とすぐ pq の計算をしてみると思いますが、そうでないと、なかなか気づきにくいので相当な難問だと思います。
一旦気づけば、p^3-q^3 の因数分解から道が開けますが、多少のひらめきが必要なので、全体的にかなりの難問でしょう。
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