数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 等式を満たす文字の値 / Page: 0]

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■23925 / inTopicNo.1)

　等式を満たす文字の値

□投稿者/ gasewen 一般人(1回)-(2007/04/13(Fri) 20:04:26)

等式　p^2-2pq+5q^2-20p-20q+20=0
を満たす実数p,qの値を求めよ

と言う問題を宿題として出されたのですが、どこから手を出していいのか
さっぱりわかりません。

先生からは模範解答を目指せと言われているので
途方に暮れています。

どうかよろしくお願いします。

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■23929 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ G 一般人(2回)-(2007/04/13(Fri) 23:37:14)

■No23925に返信(gasewenさんの記事)
> 等式　p^2-2pq+5q^2-20p-20q+20=0
> を満たす実数p,qの値を求めよ
>
> 目指せ

みてのとおりの検索結果約 17,600 件

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■23941 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ G 一般人(3回)-(2007/04/14(Sat) 10:02:01)

■No23925に返信(gasewenさんの記事)
> >
> 先生からは模範解答を目指せと言われている
　　　　　　　　　　　なら

In[108]:=
Normal[Series[200 - 20*p + p^2 - 20*q -
2*p*q + 5*q^2, {p, 15, 2}, {q, 5, 2}]]

Out[108]=(-15 + p)^2 - 2*(-15 + p)*(-5 + q) + 5*(-5 + q)^2

　　　　　　　　　故　問題を改竄して等式　；
200 - 20*p + p^2 - 20*q - 2*p*q + 5*q^2=0
を満たす実数p,qの値を求めよ
　　　(が　一意に定まり　ヨイかも　と　教授者へ）

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■23946 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ gasewen 一般人(2回)-(2007/04/14(Sat) 12:37:11)

あの・・・お手数ですが教科書などに書いてあるような
解法ですとどうなるのでしょうか？

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■23960 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ キャプテンつかさ一般人(49回)-(2007/04/14(Sat) 23:47:58)

$2$p$ , $2$q$ は整数とか、条件はないのですか？

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■23967 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ gasewen 一般人(3回)-(2007/04/15(Sun) 12:54:02)

あ、はい！
p,qは実数でした。
説明不足ですみません・・・

答までの解法を教えていただけるとうれしいのですが・・・

よろしくお願いします

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■23975 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ X ファミリー(160回)-(2007/04/15(Sun) 18:07:07)

横から失礼します。

結論から言うと、横軸にp,縦軸にqを取った場合
p^2-2pq+5q^2-20p-20q+20=0　(A)
の軌跡はGさんがレスの中の図で示している通り、中心軸が傾いた楕円になります。
「二次曲線」、「標準形」をキーワードとして、ネット検索してみて下さい。

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■24043 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ うとうと一般人(1回)-(2007/04/18(Wed) 00:47:58)

問題文が「実数p,qの値を求めよ。」となっていて、
「軌跡を求めよ。」となっていないところを見ると、
問題文の書き間違いなんて事はありませんよね?
例えば、+20が、+120や+200だったりとか。

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■24044 / inTopicNo.9)

　Re[3]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ うとうと一般人(3回)-(2007/04/18(Wed) 01:01:08)

+120なんてことはないか。失礼しました。

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■24047 / inTopicNo.10)

　Re[1]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(641回)-(2007/04/18(Wed) 04:35:55)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

問題が正しいなら

p=x, q=y+(1/5)x を代入して整理すると
{(x-15)/15}^2+{(y-2)/6}^2=1
よって実数t (0≦t＜2π) により
(x-15)/15=cost, (y-2)/6=sint と書けるので
x=15cost+15, y=6sint+2
従って与えられた等式を満たす実数p,qは、媒介変数tにより
(p,q)=(15cost+15,6sint+3cost+5) (0≦t＜2π)
と表される。

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■24066 / inTopicNo.11)

　Re[2]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ G 一般人(7回)-(2007/04/18(Wed) 17:57:06)

■No24047に返信(らすかるさんの記事)
> 問題が正しいなら
>
実数p,qは、媒介変数tにより
> (p,q)=(15cost+15,6sint+3cost+5) (0≦t＜2π)
> と表される。

最初の　視ての通りの　非有限解達を　
ラスカル様が　補強されたので　
　　　　　お礼かたがた
　　　　I=<f1,f2,f3>
R[x,y]∩I で　確認致します　；
In[199]:=
f1 = x - (15*c + 15);
f2 = y - (6*s + 3*c + 5);
f3 = c^2 + s^2 - 1^2;
GB = GroebnerBasis[{f1, f2, f3},
{c, s, x, y}]

Out[202]={20 - 20*x + x^2 - 20*y - 2*x*y + 5*y^2,
-10 - 30*s - x + 5*y, 15 + 15*c - x}

In[203]:=GB[[1]]
Out[203]=20 - 20*x + x^2 - 20*y - 2*x*y + 5*y^2
GB[[1]]=0 <--確認（陰的表示に）

有限個を例示　；　In[240]:=
Table[{15*Cos[t] + 15, 6*Sin[t] +
3*Cos[t] + 5}, {t, 0, 2*Pi, Pi/12}]

Out[240]=
{{30, 8}, {15 + (15*(1 + Sqrt[3]))/
(2*Sqrt[2]), 5 + (3*(-1 + Sqrt[3]))/
Sqrt[2] + (3*(1 + Sqrt[3]))/
(2*Sqrt[2])}, {15 + (15*Sqrt[3])/2,
8 + (3*Sqrt[3])/2}, {15 + 15/Sqrt[2],
5 + 3/Sqrt[2] + 3*Sqrt[2]},
{45/2, 13/2 + 3*Sqrt[3]},
{15 + (15*(-1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]),
5 + (3*(-1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]) +
(3*(1 + Sqrt[3]))/Sqrt[2]}, {15, 11},
{15 - (15*(-1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]),
5 - (3*(-1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]) +
(3*(1 + Sqrt[3]))/Sqrt[2]},
{15/2, 7/2 + 3*Sqrt[3]},
{15 - 15/Sqrt[2], 5 - 3/Sqrt[2] +
3*Sqrt[2]}, {15 - (15*Sqrt[3])/2,
8 - (3*Sqrt[3])/2},
{15 - (15*(1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]),
5 + (3*(-1 + Sqrt[3]))/Sqrt[2] -
(3*(1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2])}, {0, 2},
{15 - (15*(1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]),
5 - (3*(-1 + Sqrt[3]))/Sqrt[2] -
(3*(1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2])},
{15 - (15*Sqrt[3])/2, 2 - (3*Sqrt[3])/2},
{15 - 15/Sqrt[2], 5 - 3/Sqrt[2] -
3*Sqrt[2]}, {15/2, 7/2 - 3*Sqrt[3]},
{15 - (15*(-1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]),
5 - (3*(-1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]) -
(3*(1 + Sqrt[3]))/Sqrt[2]}, {15, -1},
{15 + (15*(-1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]),
5 + (3*(-1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]) -
(3*(1 + Sqrt[3]))/Sqrt[2]},
{45/2, 13/2 - 3*Sqrt[3]},
{15 + 15/Sqrt[2], 5 + 3/Sqrt[2] -
3*Sqrt[2]}, {15 + (15*Sqrt[3])/2,
2 + (3*Sqrt[3])/2},
{15 + (15*(1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2]),
5 - (3*(-1 + Sqrt[3]))/Sqrt[2] +
(3*(1 + Sqrt[3]))/(2*Sqrt[2])}, {30, 8}}

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■24068 / inTopicNo.12)

　Re[2]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ G 一般人(8回)-(2007/04/18(Wed) 20:43:24)

■No24047に返信(らすかるさんの記事)
> 問題が正しいなら
>
> 従って与えられた等式を満たす実数p,qは、媒介変数tにより
> (p,q)=(15cost+15,6sint+3cost+5) (0≦t＜2π)
> と表される。

　　　　　ラスカル様に謝辞

ラスカル様に触発され　　可算個の　R^2　点達（容易）を
求めましたが　ソレより制約された　Q^2　点達（上より難）を
　　可算個求めてみました；
　　　　（代数曲線上に在るか確認を）
Out[120]=
{{6/13, 8/13}, {375/773, 451/773},
{750/1469, 808/1469}, {375/697, 359/697},
{750/1321, 632/1321}, {3/5, 11/25},
{750/1181, 472/1181}, {375/557, 199/557},
{750/1049, 328/1049}, {375/493, 131/493},
{30/37, 8/37}, {375/433, 71/433},
{750/809, 88/809}, {375/377, 19/377},
{750/701, -(8/701)}, {15/13, -(1/13)},
{750/601, -(88/601)}, {375/277,
-(61/277)}, {750/509, -(152/509)},
{375/233, -(89/233)}, {30/17, -(8/17)},
{375/193, -(109/193)},
{750/349, -(232/349)},
{375/157, -(121/157)},
{750/281, -(248/281)}, {3, -1},
{750/221, -(248/221)},
{375/97, -(121/97)}, {750/169,
-(232/169)}, {375/73, -(109/73)},
{6, -(8/5)}, {375/53, -(89/53)},
{750/89, -(152/89)}, {375/37, -(61/37)},
{750/61, -(88/61)}, {15, -1},
{750/41, -(8/41)}, {375/17, 19/17},
{750/29, 88/29}, {375/13, 71/13},
{30, 8}, {375/13, 131/13},
{750/29, 328/29}, {375/17, 199/17},
{750/41, 472/41}, {15, 11},
{750/61, 632/61}, {375/37, 359/37},
{750/89, 808/89}, {375/53, 451/53},
{6, 8}, {375/73, 551/73},
{750/169, 1208/169}, {375/97, 659/97},
{750/221, 1432/221}, {3, 31/5},
{750/281, 1672/281}, {375/157, 899/157},
{750/349, 1928/349}, {375/193, 1031/193},
{30/17, 88/17}, {375/233, 1171/233},
{750/509, 2488/509}, {375/277, 1319/277},
{750/601, 2792/601}, {15/13, 59/13},
{750/701, 3112/701}, {375/377, 1639/377},
{750/809, 3448/809}, {375/433, 1811/433},
{30/37, 152/37}, {375/493, 1991/493},
{750/1049, 4168/1049},
{375/557, 2179/557}, {750/1181,
4552/1181}, {3/5, 19/5},
{750/1321, 4952/1321},
{375/697, 2579/697}, {750/1469,
5368/1469}, {375/773, 2791/773},
{6/13, 232/65}}
(無数に有理点を得ることができます)

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■24081 / inTopicNo.13)

　Re[2]: 等式を満たす文字の値

▲▼■

□投稿者/ G 一般人(9回)-(2007/04/19(Thu) 09:53:46)

■No24047に返信(らすかるさんの記事)
> 問題が正しいなら

> 媒介変数tにより
> (p,q)=(15cost+15,6sint+3cost+5) (0≦t＜2π)

　　　　　直前とは異なる媒介変数表示で

(24,2)から密集している無理数点R^2-Q^2を踏まず
有理点Q^2上を走った顛末（紫）；
In[196]:=Table[{24/(1 - 2*T + 5*T^2),
2*(1 + (12*T)/(1 - 2*T + 5*T^2))},
{T, 0, 2, 1/24}]

Out[196]=
{{24, 2}, {13824/533, 1642/533},
{3456/125, 538/125}, {1536/53, 298/53},
{864/29, 202/29}, {13824/461, 3802/461},
{384/13, 122/13}, {13824/485, 5002/485},
{27, 11}, {1536/61, 698/61},
{3456/149, 1738/149}, {13824/653,
7642/653}, {96/5, 58/5},
{13824/797, 9082/797}, {3456/221,
2458/221}, {1536/109, 1178/109},
{216/17, 178/17}, {13824/1205,
12202/1205}, {384/37, 362/37},
{13824/1469, 13882/1469},
{864/101, 922/101}, {1536/197, 1738/197},
{3456/485, 4138/485}, {13824/2117,
17482/2117}, {6, 8}, {13824/2501,
19402/2501}, {3456/677, 5098/677},
{1536/325, 2378/325}, {864/197,
1402/197}, {13824/3389, 23482/3389},
{384/101, 682/101}, {13824/3893,
25642/3893}, {216/65, 418/65},
{1536/493, 3098/493}, {3456/1181,
7258/1181}, {13824/5021, 30202/5021},
{96/37, 218/37}, {13824/5645,
32602/5645}, {3456/1493, 8458/1493},
{1536/701, 3898/701}, {27/13, 71/13},
{13824/7013, 37642/7013},
{384/205, 1082/205}, {13824/7757,
40282/7757}, {864/509, 2602/509},
{1536/949, 4778/949}, {3456/2237,
11098/2237}, {13824/9365, 45802/9365},
{24/17, 82/17}}
----------------------------------
密集している有理点Q^2
密集している無理数点R^2-Q^2
地雷なら　人類を奈落の底に....
http://www.jcbl-ngo.org/
----------------------------------
(24/(177/172 - 1/Sqrt[43]), 2*(1 + 6/(Sqrt[43]*(177/172 -
1/Sqrt[43]))))から密集している有理点Q^2を踏まず
無理数点R^2-Q^2上を走った顛末（赤）;

In[200]:=Table[{24/(1 - 2*T + 5*T^2),
2*(1 + (12*T)/(1 - 2*T + 5*T^2))},
{T, 1/Sqrt[172], Sqrt[5], 1/Sqrt[17]}]

Out[200]=
{{24/(177/172 - 1/Sqrt[43]),
2*(1 + 6/(Sqrt[43]*(177/172 -
1/Sqrt[43])))},
{24/(1 - 2*(1/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(1/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^2),
2*(1 + (12*(1/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])))/
(1 - 2*(1/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(1/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^
2))},
{24/(1 - 2*(2/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(2/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^2),
2*(1 + (12*(2/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])))/
(1 - 2*(2/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(2/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^
2))},
{24/(1 - 2*(3/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(3/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^2),
2*(1 + (12*(3/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])))/
(1 - 2*(3/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(3/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^
2))},
{24/(1 - 2*(4/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(4/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^2),
2*(1 + (12*(4/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])))/
(1 - 2*(4/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(4/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^
2))},
{24/(1 - 2*(5/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(5/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^2),
2*(1 + (12*(5/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])))/
(1 - 2*(5/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(5/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^
2))},
{24/(1 - 2*(6/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(6/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^2),
2*(1 + (12*(6/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])))/
(1 - 2*(6/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(6/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^
2))},
{24/(1 - 2*(7/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(7/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^2),
2*(1 + (12*(7/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])))/
(1 - 2*(7/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(7/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^
2))},
{24/(1 - 2*(8/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(8/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^2),
2*(1 + (12*(8/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])))/
(1 - 2*(8/Sqrt[17] +
1/(2*Sqrt[43])) +
5*(8/Sqrt[17] + 1/(2*Sqrt[43]))^2))}}

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