数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 外心をベクトルで・・・ / Page: 0]

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■23841 / inTopicNo.1)

　外心をベクトルで・・・

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□投稿者/ kouhei masuura 一般人(5回)-(2007/04/09(Mon) 12:58:48)

AB=2,BC=3,CA=4の三角形ABCがある。この三角形ABCの外接円の中心をKとする時、 $2$\vec{AK}$ を $2$\vec{AB}$ 、 $2$\vec{AC}$ で表せ。

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■23866 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 外心をベクトルで・・・

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(265回)-(2007/04/10(Tue) 02:23:13)

kouhei masuuraさん，こんばんわ．

> AB=2,BC=3,CA=4の三角形ABCがある。この三角形ABCの外接円の中心をKとする時、 $2$\vec{AK}$ を $2$\vec{AB}$ 、 $2$\vec{AC}$ で表せ。

$2$\vec{AB},\vec{AC}$ を基底にとって考えましょう．すると，
$2$|\vec{BC}|=3$ より，
$2$ |\vec{BC}|=3 \\ \Longleftrightarrow |\vec{AC}-\vec{AB}|=3 \\ \Longleftrightarrow |\vec{AC}|^{2}-2\vec{AB}\cdot\vec{AC}+|\vec{AB}|^{2}=9 \\ \Longleftrightarrow 16-2\vec{AB}\cdot\vec{AC}+4=9 \\ \Longleftrightarrow \vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{11}{2}$
となります．

あとは，
$2$ \vec{AK}=x\vec{AB}+y\vec{AC}$
として， $2$x,y$ の値を求めます．具体的には， $2$K$ から $2$AB$ に下ろした垂線の足を $2$M$ とすると， $2$M$ は $2$AB$ の中点だから，
$2$ \vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{AB}$
よって，
$2$ \vec{MK}\cdot\vec{AB}=0 \\ (\vec{AK}-\vec{AM})\cdot\vec{AB}=0 \\ \left(x\vec{AB}+y\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AB}\right)\cdot\vec{AB}=0 \\ \cdots\cdots$
同様に， $2$K$ から $2$AC$ へ下ろした垂線の足を $2$N$ とすると，・・・・
ってな感じで，もう一個方程式を立てる．
これで $2$x,y$ に関する連立方程式が完成するので，それを解いてみてください．

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