 | まず
f(x) = log(1 + x)
f'(x) = 1/(1 + x)
f"(x) = -1/(1 + x)^2
f'''(x) = 2/(1 + x)^3
f""(x) = -6/(1 + x)^4
なので、テイラーの定理から θ ∈ (0, 1) が存在して
log(1 + x) = x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3 - 1/(4(1 + θx)^4) x^4
が成り立ちます。ここで、剰余項 -1/(4(1 + θx)^4) x^4 は常に 0
以下なので、それを取り除いた方が値が大きくなります。したがって
log(1 + x) ≦ x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3
が成り立ちます。
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