数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 固有値の問題です / Page: 0]

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■23797 / inTopicNo.1)

　固有値の問題です

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□投稿者/ わんわん一般人(14回)-(2007/04/08(Sun) 11:34:22)

行列

Ａ＝（１　－１　　１）
　　（２　　１　－４）
　　（１　　２　－５）のときの

Ａの固有値と固有ベクトルを教えてほしいんですけど。
すいませんよろしくお願いします。

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■23806 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 固有値の問題です

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□投稿者/ けにい付き人(88回)-(2007/04/08(Sun) 13:40:16)

固有方程式は
$2$0 = |\lambda E - A| = \left| \begin{array}{ccc} \lambda-1 & 1 & -1 \\ -2 & \lambda-1 & 4 \\ -1 & -2 & \lambda+5 \end{array} \right| = \lambda^2(\lambda+3)$
なので、固有値は $2$\lambda=-3$ , $2$0$ (重解)となります。

次に固有ベクトルです。各 $2$\lambda$ に対して、連立一次方程式
$2$ \left( \begin{array}{ccc} \lambda-1 & 1 & -1 \\ -2 & \lambda-1 & 4 \\ -1 & -2 & \lambda+5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$
の自明でない解を求めればよいわけですが、係数行列部分に注目して
行に関する基本変形をしていけば簡単です。

$2$\lambda=-3$ のとき、
$2$\left( \begin{array}{ccc} -4 & 1 & -1 \\ -2 & -4 & 4 \\ -1 & -2 & 2 \end{array} \right) \rightarrow \cdots \rightarrow \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} y-z = 0 \\ x = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = z \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$

$2$\lambda=0$ のときも同様にやってください。固有値 $2$\lambda=0$ は
固有多項式の重解なので、もし一次独立な 2 本の固有ベクトルが出れば
対角化可能ですが... 果たして何本なんでしょう？お試しあれ。

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■23811 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 固有値の問題です

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□投稿者/ わんわん一般人(16回)-(2007/04/08(Sun) 15:01:08)

けにいさん　ありがとうございます。

λ=-3のときの固有ベクトルは（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，１，１）と、

Ｚを取り除いてもよろしいのでしょうか。　お願いいたします。

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■23813 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 固有値の問題です

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□投稿者/ けにい付き人(91回)-(2007/04/08(Sun) 16:01:07)

もちろん良いですよ。
固有ベクトルは定数倍の任意性がありますから。