 | 1. 与えられた条件は x[0] = x[2n+1] = 0 ではありませんか？それなら
三角不等式から
∑[k:0,2n] |x[k+1] - x[k]|
≦ ∑[k:0,2n](|x[k+1]| + |x[k]|)
＝ |x[0]| + |x[2n+1]| + 2 ∑[k:1,2n] |x[k]|
＝ 2(2∑[k:1,n] k)
＝ 2n(n + 1)
となります。
2. 等式 |x[k+1] - x[k]| = |x[k+1]| + |x[k]| が成立するためには
x[k+1], x[k] が異符号であることが必要十分です。それが各 k = 1, 2,
..., 2n に対して成り立つということは、偶数項、奇数項で正負が交互
に並ぶということです。
まず、x[1] > 0 と仮定します。すると x[1] は 1 ～ n までの n 通りの
場合があり、その各々に対して x[2] は -1 ～ -n までの n 通りの場合
があります。その各々に対して x[3] が n - 1 通りあり、x[4] も n - 1
通りあります。以下同様にすれば、全部で (n!)^2 通りです。初項が負の
場合 x[1] < 0 も同じだけあるので合計 2(n!)^2 通りです。
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