数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: リミット / Page: 0]

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■23721 / inTopicNo.1)

　リミット

□投稿者/ たく一般人(1回)-(2007/04/06(Fri) 18:39:52)

極限の問題がちょっとよくわかりません。

下の式を使って、n→∞の時に $2$\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$ → $2$\frac{1}{e} \$ になることを証明せよといわれました。
どうしたらよいのでしょう？

$2$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

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■23727 / inTopicNo.2)

　Re[1]: リミット

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□投稿者/ けにい付き人(83回)-(2007/04/06(Fri) 22:03:43)

ちょっと技巧的ですが

(1 - 1/n)^n
= ((n - 1)/n)^n
= 1 / (n/(n - 1))^n
= 1 / { (1 + 1/(n - 1))×(1 + 1/(n - 1))^(n-1) }
→ 1/e (n → ∞)

と変形してやります。したがって、その下の ∑ は ∞ に発散します。

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■23735 / inTopicNo.3)

　Re[2]: リミット

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□投稿者/ たく一般人(3回)-(2007/04/06(Fri) 23:31:11)

すみません、ここ↓の最後の変形が、よく理解できませんでした。

> = 1 / { (1 + 1/(n - 1))×(1 + 1/(n - 1))^(n-1) }
> → 1/e (n → ∞)

たしか、eの定義は (1+1/n)^n でしたよね。
それをどう利用されているんでしょう？

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■23747 / inTopicNo.4)

　Re[3]: リミット

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□投稿者/ たく一般人(4回)-(2007/04/07(Sat) 02:40:24)