 | 1. 解と係数の関係から
b/a = -(t + nt) ⇒ n b^2/(a^2(1 + n)^2) = n t^2
c/a = n t^2
が得られます。したがって n b^2 = (1 + n)^2 ac となります。
2. 放物線を x = 1/8 y^2 と変形し、直線を x = 1/m y - 2/m^2 と
変形します。つまり、x 軸と y 軸を入れ替えた形にします。ここで
各交点を求めてみると
0 = 1/8 y^2 - (1/m y - 2/m^2)
= 1/8 ( y^2 - 8/m y + 16/m^2 )
= 1/8 (y - 4/m)^2
となり、y = 4/m でのみ交わることが分かります。したがって、この
直線は任意の m に対して、この放物線に接します。
3. 放物線を x = 1/(4a) y^2 と変形し y = 2at における接線を
x = py + q と置きます。問 2 と同様に各式を引いて平方完成すると
1/(4a) y^2 - (py + q)
= 1/(4a) (y^2 - 4ap y - 4aq)
= 1/(4a) { (y - 2ap)^2 - 4a^2 p^2 - 4aq }
となります。この直線が y = 2at における接線であるためには
2ap = 2at
4a^2 p^2 + 4aq = 0
となる必要があり p = t, q = -at^2 が得られます。つまり接線の
傾きは p = t なので、法線の傾きは -1/p = -1/t です。接点は
(at^2, 2at) なので、法線は
x = -1/t (y - 2at) + at^2
⇒ y + tx = 2at + at^3
となります(最後は 3 乗では？)。
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