 | >x≧0、y＜x/2,y≦-x+30の領域に含まれる格子点の数をS’'[30]
x ≧ 0 でなく y ≧ 0 では？
領域 D'[n]: x ≧ 0, y ≧ 0, y ≦ -x + n と領域 D"[n]: y ≧ 0, y ＜ 1/2 x,
y ≦ -x + n を考えます。つまり、D'[n], D"[n] に含まれる格子点の数が
それぞれ S'[n], S"[n] になります。いま、領域 D'''[n]: x ≧ 0, y ＞ 2x,
y ≦ -x + n は直線 y = x に関して D"[n] と対称であるため、その中に含まれる
格子点の数も S"[n] と等しくなります。これがヒントの主張です。
実際に S'[n] を求めてみましょう。第一象現の格子点を図示して、直線
y = -x + n (n = 0, 1, 2, ...)を引いてみましょう。数本直線を引けば
S'[0] = 1, S'[1] = 1 + 2, S'[2] = 1 + 2 + 3, S'[3] = 1 + 2 + 3 + 4, ...
となることが分かり S'[n] = ∑[k:1,n+1] k = 1/2 (n + 1)(n + 2) が得られ
ます。
次に S"[n] です。これも地道に図示して数えてみると
S"[0] = 0,
S"[1] = S"[0] + 1, S"[2] = S"[1] + 1, S"[3] = S"[2] + 1,
S"[4] = S"[3] + 2, S"[5] = S"[4] + 2, S"[6] = S"[5] + 2,
S"[7] = S"[6] + 3, S"[8] = S"[7] + 3, S"[9] = S"[8] + 3,
...
となり、3 の倍数の項に注目すると S"[3n] = S"[3(n-1)] + 3n
という漸化式に従うことが分かります。したがって
S"[3n]
= S"[0] + ∑[k:1,n](3k)
= 3/2 n(n + 1)
が得られます。あとはヒントのとおりです。
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