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■23626 / inTopicNo.1)  固有値の問題です
  
□投稿者/ わんわん 一般人(8回)-(2007/04/03(Tue) 22:06:15)
    問題 n次正方行列Aに対して固有値λ1,λ2,・・・λnとするとき次を示せ。
    |A|=λ1λ2・・・λn  以上

    上の問題の解法が

      (a11・・・a1n)
    A=(・    ・ )
      (・    ・ )
      (a1n・・・ann) 行列です
    とおけば、
    |a11−λ・・・a1n|
    |・      ・  |
    |・      ・  |=(−1)^n(λ−λ1)・・・(λ−λn)
    |a1n・・・ann−λ|         
    となっているのですが、意味がちょっとわかりません。
    どなたかもう少し解説していただければと思います。
    お願いします

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■23636 / inTopicNo.2)  Re[1]: 固有値の問題です
□投稿者/ ゼロ 軍団(103回)-(2007/04/04(Wed) 10:51:08)
    det(A-xI)は定義より、xのn次式になります。これをP(x)とします。

    固有値λ_kに対応する固有ベクトルをv_kとするとv_k≠0です。
    このとき(A-λ_kI)v_k=0
    v_kが非自明であるためにはdet(A-λ_kI)=0
    よってP(λ_k)=0です。

    k=1〜nなので、P(x)=CΠ_{1〜n}(x-λ_k)
    Cはconst.とかけます。

    P(x)のx^nの係数は(-1)^nなので、C=(-1)^n
    よってP(x)=(-1)^nΠ_{1〜n}(x-λ_k)
    あとはx=0を代入して、P(0)=detA
    を用いると、detA=Π_{1〜n}λ_k

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■23663 / inTopicNo.3)  Re[2]: 固有値の問題です
□投稿者/ わんわん 一般人(9回)-(2007/04/05(Thu) 09:07:42)
    ありがとうございます。
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