 | 頂角に注目して場合の数を数えます。
まず準備。
問題の正１２角形から異なる３点を選ぶ方法は
12C3=220[通り]
(1)
正１２角形のある一つの頂点(Aとします)に関し、条件のような正三角形は１つしかできません。
更にこの正三角形のA以外の頂点に関して考えると、結局３点に関して正三角形は同一のものと言うことが分かります。よって正三角形は全部で
12/3=4[個]
できますので確率は
4/220=1/55
(2)
問題の正１２角形の外接円を考えると円周角により、ある頂点(Bとします)に対する角度が90°であるような直角三角形の他の二つの頂点を結ぶ辺は、外接円の直径になることが分かります。
ここで正１２角形の二つの頂点の選び方で、結ぶ線分が直径となるようなものの数は
12/2=6[通り]
ですので上記のような点Bに関する直角三角形は
6-1=5[個]
よって全部で直角三角形は
5×12=60[個]
できることになりますので、求める確率は
60/220=3/11
(3)
正１２角形のある一つの頂点を頂角と見て考えると、正三角形でない二等辺三角形
の頂角でない角の組の数はこの頂角に対し全部で
(12-2)/2-1=4[個]
∴正三角形でない二等辺三角形は全部で
12×4=48[個]
一方(1)の計算過程より正三角形は
4[個]
よって求める確率は
(48+4)/220=13/55
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