 | 2007/03/30(Fri) 00:01:19 編集(投稿者)
■No23392に返信(巡査部長さんの記事)
> F:y=x^2、A(p,q)（ただし、q>p^2…①）とする。
> Aを通る、y軸と平行でない直線LとFの２交点をP,Qとすると、①を満たす任意のp,qに対して、AがPQの中点となるような２点P,Qが存在することを示せ。
①は点ＡがＦの上側（放物線の「内側」）にあることを示しています。
点Ａを通り傾きｍの直線は、y=m(x-p)+q…②
この直線とＦとの２交点のｘ座標は、x^2=m(x-p)+q すなわち x^2-mx+mp-q=0 の２解。
この２解をα,βとおくと、解と係数の関係より、α+β＝m
よって２交点の中点のｘ座標は (α+β)/2=m/2 で、これが p と等しいとき m/2=p
すなわち m=2p で、①を満たす任意の p を与えると傾き m が決まり、②が確定する。
このことは、点Ａを与えるとそれが中点になるような直線を必ず作れることを意味する。
よって、点AがPQの中点となるような２点P,Qが存在するといえる。
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