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■23369 / inTopicNo.1)

　媒介変数表示による図形

□投稿者/ Sateu 一般人(13回)-(2007/03/29(Thu) 16:04:31)

この問題がわからないので教えてください

次の曲線および直線で囲まれた図形の面積を求めよ

（１）曲線 $2$x=\tan {t}$ , $2$y=\sin {t}+1$ (0≦t≦π/4) と x軸, y軸と直線 $2$x=1$
（２）曲線 $2$x=\cos {t}$ , $2$y=\cos {2t}+1$ (0≦t≦π/2) とx軸と直線 $2$x=1$

答えは（１）が $2$\sqrt2$ 、（２）が $2$\frac{2}{3}$ でしたが、途中経過が書いて
ありませんでした。どなたかわかる方、解説お願いします。
　

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■23377 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 媒介変数表示による図形

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□投稿者/ X 軍団(119回)-(2007/03/29(Thu) 17:00:31)

媒介変数を用いた曲線の処理ですが、
注意することは媒介変数tに対して、x,yの増減が入れ替わるか否かです。
仮にxが増加から減少、又は減少から増加に転じることが無ければ、
yをxの関数tと見ることができ、xの関数の場合と同様な積分の式を立てて
媒介変数で置換積分する、と言う解法になります。
xが増加から減少、又は減少から増加に転じる場合は、転じるときの
媒介変数の値を境にして曲線を分割して考えます。

(1)
0≦t≦π/4 (A)
において
x=tant (B)
y=sint+1 (C)
はいずれも単調増加関数です。
ここで(A)において、(B)は
0≦x≦1
(C)は
1≦y≦2
となることから、求める面積をSとすると
S=∫[x:0→1]ydx
ここで(B)より
dx=dt/(cost)^2
でx:0→1にt:0→π/4が対応していますので
S=∫[t:0→π/4]{(sint+1)/(cost)^2}dt
=…

(2)も同様です。

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■23426 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 媒介変数表示による図形

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□投稿者/ Sateu 一般人(23回)-(2007/03/30(Fri) 16:56:13)

Ｘさん詳しく書いてくださってありがとうございます

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■23458 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 媒介変数表示による図形

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□投稿者/ Sateu 一般人(26回)-(2007/03/31(Sat) 10:11:54)

考え方はわかったので、計算してみたのですが、積分計算ができませんでした
わかる方途中式を教えていただけませんか？

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■23474 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 媒介変数表示による図形

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□投稿者/ X 軍団(122回)-(2007/03/31(Sat) 14:41:14)

2007/03/31(Sat) 14:43:30 編集(投稿者)

S=∫[t:0→π/4]{(sint+1)/(cost)^2}dt
=∫[t:0→π/4]{(sint/(cost)^2+1/(cost)^2}dt
=[1/cost+tant][t:0→π/4]
=1/√2
となります。
注）
∫[t:0→π/4]{(sint/(cost)^2}dt=[1/cost][t:0→π/4]
ですが、この計算が理解できなければ
cost=u
と置いて、置換積分してみましょう。

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