数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 整数問題 / Page: 0]

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■23310 / inTopicNo.1)

　整数問題

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□投稿者/ ゆち一般人(9回)-(2007/03/27(Tue) 21:29:49)

1/x+1/y=1/8(ただし、x≧y)を満足する自然数x,yの組を求めよ。

分からないので、どなたかよろしくお願いします。

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■23311 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマンベテラン(237回)-(2007/03/27(Tue) 21:52:22)

ゆちさん，こんばんわ．

> 1/x+1/y=1/8(ただし、x≧y)を満足する自然数x,yの組を求めよ。
>
> 分からないので、どなたかよろしくお願いします。

$2$x\geq y$ という「強力な」条件がありますので，これを使って $2$y$ の範囲を絞り込みましょう．具体的には，

$2$x\geq y>0$ より， $2$1/x\leq 1/y$ であるから，
$2$ \frac{1}{8} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \\ \leq \frac{1}{y}+\frac{1}{y} \\ =\frac{2}{y} \\ \therefore \frac{2}{y}\geq \frac{1}{8} \\ \Longleftrightarrow 0< y \leq 16$
従って， $2$y$ の値は
$2$y=1,2,3,\cdots, 16$
と絞り込めます．各 $2$y$ に対して，具体的に $2$x$ の値を計算して， $2$x,y$ がともに自然数となるものを探せばいいでしょう．

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■23312 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ ゆち一般人(10回)-(2007/03/27(Tue) 21:54:23)

ﾚｽありがとうございます。

3行目の1/8とはどういうことですか？

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■23313 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマンベテラン(238回)-(2007/03/27(Tue) 21:56:43)

■No23312に返信(ゆちさんの記事)
> ﾚｽありがとうございます。
>
> 3行目の1/8とはどういうことですか？
>

あ，すみません．
$2$ \frac{1}{8}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
という意味です． $2$=$ が抜けておりました．．．．

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■23314 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 整数問題

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□投稿者/ ゆち一般人(11回)-(2007/03/27(Tue) 22:05:45)

わかりました。
やってみます！

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■23315 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 整数問題

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□投稿者/ ゆち一般人(12回)-(2007/03/27(Tue) 22:14:09)

解説みたいなのに、
xy-8x-8y=0
xy-8x-8y+64=64
とあるのですが、どこから64という数字がでてきたんですか？

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■23317 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 整数問題

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□投稿者/ ウルトラマンベテラン(239回)-(2007/03/27(Tue) 22:25:51)

ゆちさん，こんばんわ．

> 解説みたいなのに、
> xy-8x-8y=0
> xy-8x-8y+64=64
> とあるのですが、どこから64という数字がでてきたんですか？

整数問題を解くための常套手段として，
（整数）×（整数）＝（整数）
の形を作るというものがあります．

お手持ちの解説では，
$2$xy-8x-8y=0$
とした後，この左辺を（整数）×（整数）の形に変形（因数分解）しようとしているわけです．そこで，実際に因数分解してみると，
$2$x(y-8)-8y=0$
となり，ちょっと因数分解できなさそうですね？そこで，ちょっと工夫をして，
$2$y-8$ というのが共通因数になるようにするために両辺に $2$64$ を加えているわけです．すると，
$2$x(y-8)-8y+64=64\Longleftrightarrow x(y-8)-8(y-8)=64\Longleftrightarrow (x-8)(y-8)=64$
となります．

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■23318 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 整数問題

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□投稿者/ ゆち一般人(13回)-(2007/03/27(Tue) 22:26:44)

でもなんで64なんですか？？

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■23320 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 整数問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1140回)-(2007/03/27(Tue) 22:34:46)

横から失礼します。
この場合は両辺に64を加えるというより
x(y-8) -8y = 0 について、(y-8) という因数を強引に作り出すために
x(y-8) -8(y-8) -64 = 0　としたと考える方が分かりやすいかもしれません。
このあと
(x-8)(y-8) = 64
として終わります。

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■23321 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 整数問題

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□投稿者/ ゆち一般人(14回)-(2007/03/27(Tue) 22:44:46)

他の数字ではﾀﾞﾒなんですか？
必然的に64になるのでしょうか。

質問ばっかりですみません。

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■23322 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 整数問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1141回)-(2007/03/27(Tue) 23:03:48)

次のように考えます。
xy-8x -8y = 0　最初の２項を x でくくる。
x(y-8) -8y = 0
　最初が x(y-8) になっているので、-8y の所も (y-8) にしたい。
　すなわち -8y を -8(y-8) にする。　←展開するとちゃんと -8y になっている。
　ところで -8(y-8) = -8y+64 で、もともと存在しない 64 は消さなければならない。
　よって、-8y = -8(y-8) -64 とする。
　すなわち
x(y-8) -8(y-8) -64 = 0

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■23323 / inTopicNo.12)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ nrn 一般人(27回)-(2007/03/27(Tue) 23:04:45)

横から失礼します。

問題が
$2$xy-8x-7y=0$
だったらどうなるでしょう。

方針は変わらず（整数）×（整数）＝（整数）の形を作ることです。

まず、ｘでくくってみましょう。すると。
$2$x(y-8)-7y=0$
となります。

ここで、
$2$x(y-8)-A(y-8)=0$
の形を作ることを考えます。

展開したことを考えると、Ａには７が入らないと、元の式が成り立ちません。なので、Ａに７を入れてみましょう。

すると
$2$x(y-8)-7(y-8)=0$
これを展開してみると
$2$x(y-8)-7y+56=0$
となります。

ここで、元の式と比べると+56が余分です。そこで、つじつまを合わせるために
$2$x(y-8)-7y+56-56=0$
とします。
ここで改めてくくると
$2$x(y-8)-7(y-8)-56=0$
となり、因数分解すると
$2$(x-7)(y-8)-56=0$
となるわけです。

つまり、ここで出てくる数は、式としてのつじつまを合わせるための数なのです。
もともとの式が変われば、当然この数も変わります。

このような変形は、２次関数の平方完成でもやりましたよね。
いかがでしょう？

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■23324 / inTopicNo.13)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ ゆち一般人(15回)-(2007/03/27(Tue) 23:16:30)

あー、やっと分かりました！
皆さん、本当にありがとうございました♪

解決済み!

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■23533 / inTopicNo.14)

　Re[10]: 整数問題

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□投稿者/ φ 一般人(5回)-(2007/04/01(Sun) 18:43:05)

この問題の場合は64という数字を加えることでキレイに因数分解ができるから64を選んだわけで、
たとえば
xy-4x-2y=0
という式なら、両辺に8を加えることで
xy-4x-2y+8=8

(x-2)(y-4)=8

というように、8を加えることになります。
こういう問題は何問か練習すればできるようになりますよ。
自分も最初はそんなこと（試験時間中などに）ひらめけるわけがないと思っていましたが、練習すればこういう形の問題を見たときにすぐに解法が思い浮かぶようになりますよ♪

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