 | α・2^(n-1)=a[n]+b[n] (A)
とします。
(A)より
a[n]+b[n]=2α・2^(n-2)
=2a[n-1]+2b[n-1] (A)'
つまりnが1増加するたびに小数部に2がかけられることが分かります。
一方
nが奇数のとき、0≦b[n]<1/2 (B)
nが偶数のとき、1/2<b[n]<1 (C)
よってkを自然数とすると
n=2k-1からn=2kになる場合は、小数部の桁上がりはありませんので
b[2k]=2b[2k-1] (D)
一方、n=2kからn=2k+1になる場合は、小数部の桁上がりは1ですので
b[2k+1]=2b[2k]-1 (E)
(D)(E)より
b[2k+1]=4b[2k-1]-1
∴b[2k+1]-1/3=4(b[2(k-1)+1]-1/3)
∴b[2k+1]-1/3=(b[1]-1/3)・4^(k-1)
ここで(A)より
b[1]=α
∴b[2k+1]=(α-1/3)・4^(k-1)+1/3 (F)
これを(B)に適用すると
0≦(α-1/3)・4^(k-1)+1/3<1/2
ですので、kが任意の自然数であることから
α-1/3=0
でなければなりません。
∴α=1/3
このとき(D)より
b[2k]=2/3
又(A)より
a[n]=(1/3)・2^(n-1)-b[n]
∴
nが奇数のときa[n]=(1/3)・2^(n-1)-1/3
nが偶数のときa[n]=(1/3)・2^(n-1)-2/3
となります。
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