 | 2007/03/23(Fri) 21:12:10 編集(投稿者)
2007/03/23(Fri) 21:03:13 編集(投稿者)
まず e^x, e^(-x) > 0 に注意すると
tanh(x) = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))
⇒ tanh'(x) = { (e^x + e^(-x))^2 - (e^x - e^(-x))^2 } / (e^x + e^(-x))^2
です。いま e^x + e^(-x) > e^x - e^(-x) を考慮すれば、任意の
x ∈ R に対して tanh'(x) > 0 となります。したがって tanh(x)
は R 上の狭義単調増加関数であり tanh は(全)単射です。また、
tanh(x) = (1 - e^(-2x))/(1 + e^(-2x)) → 1 (x → +∞)
tanh(x) = (e^(2x) - 1)/(e^(2x) + 1) → -1 (x → -∞)
なので f(R) = (-1, 1) となります。
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