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■23148 / inTopicNo.1)

　２階線形微分方程式

□投稿者/ コック一般人(8回)-(2007/03/23(Fri) 13:45:57)

この問題の解き方を教えてください、お願いします。
解き始めから苦戦しております。手元の参考書”やさしく学べる微分方程式”でロンスキー行列式に関する微分法定式の練習問題をこなしましたが、まだしっかりとした考えが判っていない事にこの問題を通じて気付きました。

Which of the following pairs of function are linearly independent？
どの関数の組み合わせが線形独立か？

１．(e^ax)(sin(bx)), (e^ax)(cos(bx)) b≠0, in （-∞,∞)

２．(x^m) , (x^n) in (0,∞)

３．sin(x-1), sin(x) in (-∞,∞)

未熟者ですがもしよければ、ご指導をお願いいたします。

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■23151 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ２階線形微分方程式

▲▼■

□投稿者/ X 軍団(104回)-(2007/03/23(Fri) 14:24:46)

2007/03/23(Fri) 14:25:41 編集(投稿者)

1.
実数u,vに対し
u(e^ax)sin(bx)+v(e^ax)cos(bx)=0 (A)
のとき
(e^ax){usin(bx)+vcos(bx)}=0
∴
usin(bx)+vcos(bx)=0 (B)
ここでx∈(-∞,∞)ゆえx=0,π/2のときに(A)が成立することが必要になります。
∴(u,v)=(0,0)
逆にこのとき(A)はx∈(-∞,∞)に対して成立しますので
(A)⇔(u,v)=(0,0)
よって問題の関数の組は線形独立です。

同様に考えると
2.はm≠nのとき線形独立
3.は線形独立ではない(注：sin(x-1)を加法定理で展開してみましょう)
ことが分かります。

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■23176 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ２階線形微分方程式

▲▼■

□投稿者/ コック一般人(9回)-(2007/03/24(Sat) 13:47:48)

xさんありがとうございます。

x∈(-∞,∞)
ここの部分の∈は何を意味してるのでしょうか？

> ここでx∈(-∞,∞)ゆえx=0,π/2のときに(A)が成立することが必要になります。
これにより線形独立（一次独立）と考えると思いますが。
以下の過程がいまいち理解できておりません。

> ∴(u,v)=(0,0)
> 逆にこのとき(A)はx∈(-∞,∞)に対して成立しますので
> (A)⇔(u,v)=(0,0)
> よって問題の関数の組は線形独立です。

∴(u,v)=(0,0)とするのはなぜでしょうか？

また２）、３）はロンスキー行列式で線形独立を証明する事は出来ないのでしょうか？
> 2.はm≠nのとき線形独立
> 3.は線形独立ではない(注：sin(x-1)を加法定理で展開してみましょう)
> ことが分かります。

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■28814 / inTopicNo.4)

　これすごかったです！

▲▼■

□投稿者/ よっちゃん＠一般人(1回)-(2007/10/21(Sun) 12:18:18)
http://225think.sakura.ne.jp/

某雑誌によく当たるとでてましたので

試してみました。

株やFXよりは絶対こっちの方がいいです。

とにかくすごい！

http://225think.sakura.ne.jp/

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