 | 与式を
x^2 log(x)^2 { 1/log(x) - 2/log(x^2+1) }
= -2 x^2 log(x)^2 { 1/log(x^2+1) - 1/log(x^2) }/1 ･･･ (1)
と変形します。ここで t = x^2 と置き、上式 {...}/1 の部分に着目
すると平均値の定理から、関数 1/log(t) の導関数が -1/(t log(t)^2)
であることに注意すれば 0 < θ < 1 が存在して
(1) = 1/2 x^2 log(x^2)^2 / { (x^2 + θ) log(x^2 + θ)^2 }
= 1/2 { x^2/(x^2 + θ) } { log(x^2)/log(x^2 + θ) }^2 ･･･ (2)
となります。上式において、x → ∞ のとき
x^2/(x^2 + θ)
= 1/(1 + θ/x^2)
→ 1
log(x^2)/log(x^2 + θ)
= log(x^2) / { log(1 + θ/x^2) + log(x^2) }
= 1 / { log(1 + θ/x^2)/log(x^2) + 1 }
→ 1
より (2) → 1/2 となります。
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