数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 式の証明 / Page: 0]

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■23011 / inTopicNo.1)

　式の証明

□投稿者/ 毛糸一般人(3回)-(2007/03/17(Sat) 11:05:04)

1)実数a,b,cについて、a≧０、ｂ≧０、ｃ≧０のとき、a+b+c≧√ab+√bc+√ca

2)実数a,b,cについて、a≧０、ｂ≧０、ｃ≧０のとき、
　　　
　　　√（a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2 /3 ≧　a+b+c/3
↑ルートは左辺全部を含んでいて、/3も左辺全体です。

わかりにくくてごめんなさい。。よろしくお願いします。

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■23012 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 式の証明

▲▼■

□投稿者/ X 付き人(95回)-(2007/03/17(Sat) 11:34:42)

1)
相加平均と相乗平均の関係により
a+b≧2√(ab) (A)
(等号成立はa=bのとき)
b+c≧2√(bc) (B)
(等号成立はb=cのとき)
c+a≧2√(ca) (C)
(等号成立はc=aのとき)
(A)(B)(C)を辺々足してみましょう。

2)
証明すべき不等式を
√{{(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2}/3} ≧　(a+b+c)/3 (A)
と解釈して解答します。

a≧0、b≧0、c≧0
ゆえ証明すべき不等式は両辺正の数ですので、両辺２乗して評価します。
((A)の左辺)^2-((A)の右辺)^2
={(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2}/3-(1/9)(a+b+c)^2
={3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)}/3-(1/9){(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}
=(1/9){8(a^2+b^2+c^2)-8(ab+bc+ca)}
=(4/9){2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)}
=…({}の中を平方式に変形します。)

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■23016 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 式の証明

▲▼■

□投稿者/ 毛糸一般人(4回)-(2007/03/17(Sat) 21:02:22)

ありがとうございます！！！
わかりやすかったです。

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