数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 3次方程式z^3=1の三つの異なる解・・ / Page: 0]

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■22967 / inTopicNo.1)

　3次方程式z^3=1の三つの異なる解・・

□投稿者/ ouo 一般人(20回)-(2007/03/15(Thu) 22:05:45)

3次方程式z^3=1の三つの相異なる解をα、β、γとする。
nを自然数とするとき、以下の設問に答えよ。

(1)α、β、γを求めよ。
(2)α^n+β^n+γ^2の値は、nが3の倍数のとき3, それ以外のとき0になることを示せ。

(2)をどう応えればいいのかわかりません。

数学的帰納法かな。
それとも、単に示すだけでいいのかな。

ご教授お願いいたします。

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■22982 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 3次方程式z^3=1の三つの異なる解・・

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□投稿者/ ゼロ付き人(98回)-(2007/03/16(Fri) 11:15:48)

1,ω,ω^2が解になります。1+ω+ω^2=0

n≡0(mod 3)の時、ω^n=1より、
α^n=β^n=γ^n=1
よってα^n+β^n+γ^n=3

n≡p(mod 3) p=1,2の時　ω^n=ω^pより、
α^n+β^n+γ^n=1+ω^p+ω^(2p)=1+ω+ω^2=0

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■22983 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 3次方程式z^3=1の三つの異なる解・・

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□投稿者/ X 付き人(87回)-(2007/03/16(Fri) 11:29:26)

>>α^n+β^n+γ^2
を
α^n+β^n+γ^n
のタイプミスと見て回答します。

nが3の倍数の場合とそうでない場合について場合分けをします。
条件からα、β、γは３次方程式
x^3=1
の解ですので
α^3=1 (A)
β^3=1 (B)
γ^3=1 (C)
又、３次方程式の解と係数の関係により
α+β+γ=0 (D)
αβ+βγ+γα=0 (E)
よって
f=α^n+β^n+γ^n
と置くと
(i)n=3k(k：自然数)のとき
f=α^(3k)+β^(3k)+γ^(3k)
=(α^3)^k+(β^3)^k+(γ^3)^k
これに(A)(B)(C)を代入して
f=3
(ii)n=3k+1(k：0又は自然数)のとき
f=α^(3k+1)+β^(3k+1)+γ^(3k+1)
=α(α^3)^k+β(β^3)^k+γ(γ^3)^k
これに(A)(B)(C)を代入して
f=α+β+γ
更に(D)を代入して
f=0
(iii)n=3k+2(k：0又は自然数)のとき
…（(ii)の場合と同じように計算してみましょう。）

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■23009 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 3次方程式z^3=1の三つの異なる解・・

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□投稿者/ ouo 一般人(21回)-(2007/03/17(Sat) 03:09:54)

毎度ありがとうございます。
＞ゼロさん。1+w+w^2ですか、なるほど。ありがとうございます。
＞Xさん。　3次方程式の解と係数ですか。ありがとうございます。

どうもありがとうございました☆

解決済み!

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