数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 確率2 / Page: 0]

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■22944 / inTopicNo.1)

　確率2

□投稿者/ kino 一般人(9回)-(2007/03/15(Thu) 16:21:28)

2007/03/16(Fri) 16:35:32 編集(投稿者)

３個の箱Ａ，Ｂ，Ｃが有り、１匹のネズミが１秒ごとに隣の箱へ移動する。
その移動の方向と確率は、
箱Ａにいる時は、確率Pで箱Ｂに移動する。
箱Ｂにいる時は、確率Pで箱Ｃに移動する。
また、確率１－Pで箱Ａに移動する。
箱Ｃにいる時は、確率１－Pで箱Ｂに移動する。
ｎ秒後にネズミが箱Ａ，Ｂ，Ｃにいる確率をそれぞれAn、Bn、Cnとする。
ただし、ｎ＝０の時ネズミは箱Ａにいるものとする。
また、０＜P<1とする。

（１）An,Bn,CnをAｎ_1、Bn_1,Cn_1およびPを用いて表せ。

（２）An+1＋αAn＋βBn_1＝γ（ｎ＝１，２，３、…）とするときα、β、γ、をPの式で表せ。

（３）P＝１/２の時、自然数ｍに対して、A2nを求めよ。

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■23000 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 確率2

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□投稿者/ kino 一般人(14回)-(2007/03/16(Fri) 16:36:43)

問題の写真はこんなかんじです。

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■23005 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 確率2

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□投稿者/ けにい付き人(54回)-(2007/03/17(Sat) 00:34:06)

2007/03/17(Sat) 01:41:52 編集(投稿者)
2007/03/17(Sat) 01:12:31 編集(投稿者)
2007/03/17(Sat) 00:46:42 編集(投稿者)

↓度々修正すみません。

(1) A からは確率 p で B へ、確率 1 - p で A へ移動します。
B からは確率 p で C へ、確率 1 - p で A へ移動します。
C からは確率 1 - p で B へ、確率 p で C へ移動します。

今、例えば「n - 1 秒後にねずみが B にいる」確率 B[n-1] ですが、
「その 1 秒後にねずみが A にいる」確率は、問題設定から、単純に
(1 - p)B[n-1] と掛け算をすればいいわけです。

また、例えば「n - 1 秒後に A にいたねずみが n 秒後に A に
いる」という事象 X[A,A,n] と「n - 1 秒後に B にいたねずみが
n 秒後に A にいる」という事象 X[A,B,n] は排反です。したがって、
n 秒後にねずみが A にいる確率は P(X[A,A,n]) + P(X[A,B,n]) と
単純に足し算すればいいわけです。

以上のことから

A[n] = (1 - p)A[n-1] + (1 - p)B[n-1]
B[n] = p A[n-1] + (1 - p)C[n-1]
C[n] = p B[n-1] + p C[n-1]

なる漸化式が得られます。

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■23006 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 確率2

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□投稿者/ けにい付き人(55回)-(2007/03/17(Sat) 00:38:03)

(2) ここでは、任意の n に対して

A[n] + B[n] + C[n] = 1 ･･･ (*)

という関係式が重要です(ねずみは必ずどこかにいる)。まず(1)で
得られた漸化式を利用して

A[n+1] = (1 - p)A[n-1] + (1 - p)^2 B[n-1] + (1 - p)^2 C[n-1]
A[n] = (1 - p)A[n-1] + (1 - p)B[n-1]
B[n-1] = B[n-1]

という関係式を用意します。ここで、第 2, 3 式に α, β をかけて
辺々加えると

A[n+1] + αA[n] + βB[n-1]
= (1 - p)(1 + α)A[n-1] + {(1 - p)^2 + α(1 - p) + β}B[n-1] + (1 - p)^2 C[n-1] ･･･ (**)

が得られます。もし、A[n-1], B[n-1], C[n-1] の各係数がすべて同じ
なら (*) 式を利用して A[n-1], B[n-1], C[n-1] を消去できそうです。
今、C[n-1] の係数が (1 - p)^2 なので、連立一次方程式

(1 - p)(1 + α) = (1 - p)^2
(1 - p)^2 + α(1 - p) + β = (1 - p)^2

を解けば良いわけです。そうすれば (**) 式は

(**) = (1 - p)^2 (A[n-1] + B[n-1] + C[n-1])
= (1 - p)^2
= γ

となります。

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■23007 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 確率2

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□投稿者/ けにい付き人(56回)-(2007/03/17(Sat) 01:32:07)

(3) これは (2) の解き方を応用して A[n] に関する漸化式を導出します。
つまり

A[n+2] = (1 - p)A[n] + (1 - p)^2 B[n] + (1 - p)^2 C[n]
A[n+1] = (1 - p)A[n] + (1 - p)B[n]
A[n] = A[n]

なる関係式を用意し、第 2, 3 式に α, β をかけて辺々加えます。
あとは (2) と同じ要領です。漸化式

A[n+2] - p(1 - p)A[n] = (1 - p)^2

が導かれるのでこれを解けば OK です。数列 a[m] = A[2m] を用いれば

a[m+1] - p(1 - p)a[m] = (1 - p)^2

ですよ。

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