 | 別解で。
グラフで考えると、楕円と放物線で共有点が３つのとき、図の対称性から
放物線の頂点は楕円上の点(0,-b)を通るので、m=-b …① となります。
また、楕円上の点(p,q) が放物線上の点より、q=p^2+m です。
ここで、３点(0,m),A(p,p^2+m),(-p,p^2+m)で作る三角形の面積が 1 より
…略(ベクトル利用で面積を出すのが簡単)…
よって、p^3=1。
このとき p=1 で A(1,1+m) これを楕円の式に代入して
1/a^2 + (1+m)^2/m^2 = 1 …② (← ① m=-b)
また楕円の焦点 (√(a^2-b^2),0) を放物線が通るので代入して
0=a^2-b^2+m すなわち a^2=m^2-m …③ (← ① m=-b)
②に③を代入・整理して
2m^2-1=0
①より m<0 よって、m=-1/√2。
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