数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 行列の証明 / Page: 0]

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■22873 / inTopicNo.1)

　行列の証明

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□投稿者/ くみ一般人(1回)-(2007/03/13(Tue) 23:51:51)

2次の正方行列A=(a b)がA^5=Oを満たすとする。
(c d)

(1)Aの逆行列が存在しないことを示せ。
(2)A+Eが逆行列をもつことを示せ。

2問なのですが、どなたかお願いします；

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■22874 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列の証明

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□投稿者/ だるまにおん軍団(115回)-(2007/03/14(Wed) 00:02:04)

(1)
逆行列が存在すると仮定します。
すると両辺に(A^(-1))^5をかけたらE=Oになっておかしなことになります。
よって逆行列は存在しません。
(2)
(A+E)(A^4-A^3+A^2-A+E)=A^5+E=E
なのでA+Eには逆行列が存在します。

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■22875 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 行列の証明

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□投稿者/ くみ一般人(2回)-(2007/03/14(Wed) 00:04:38)

即ﾚｽありがとうございます！
助かりましたm(__)m

解決済み!

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■22877 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 行列の証明

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□投稿者/ くみ一般人(3回)-(2007/03/14(Wed) 00:23:31)

すいません、もう1問よろしいでしょうか・・・

さきほどと同じ証明なのですが、A^2=Oであることを示せというものです。
お願いします；

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■22878 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 行列の証明

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□投稿者/ だるまにおん軍団(116回)-(2007/03/14(Wed) 00:30:26)

(1)よりAには逆行列が存在しないのでハミルトンケーリーの定理よりA^2=(a+d)A
よって A^5=(a+d)A^4=・・・=(a+d)^4A　∴(a+d)^4A=O
したがってa+d=0もしくはA=Oですが、どちらの場合にもA^2=Oになりますね。

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