 | まず、人力で解ける問題ではないと判断しましたので maxima, gnuplot
を用いて数値的に解きました。関数 f, g のグラフは図のようになります。
また、関数 h(x) = x/tan(x)+tan(x)/x+log(x/tan(x)) = a のグラフを
描いてみると、関数 h はある下限 b を持つと判断できます。実際、関数
h の停留点において b となるので、maxima により導関数 h', h" を求め、
ニュートン法の反復列
x' = ((x^3+3*x)*sin(x)^6-2*x^2*cos(x)*sin(x)^5+(-2*x^5-3*x^3-3*x)*sin(x)^4+(x^4+5*x^2)*cos(x)*sin(x)^3+4*x^5*sin(x)^2-2*x^5)/(2*sin(x)^6-x*cos(x)*sin(x)^5+(-2*x^4-2*x^2-2)*sin(x)^4+3*x*cos(x)*sin(x)^3+4*x^4*sin(x)^2+x^3*cos(x)*sin(x)-2*x^4)
を構成しました。これによると、関数 h の停留点は
x = ±1.03061652992792
y = 1.75485615244019
x = ±4.57820534347745
y = 1.75485615244019
x = ±7.7746550177846
y = 1.75485615244019
...
となることから a の範囲は a ≧ 1.75485615244019 であると判断できます。
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