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■22836 / inTopicNo.1) 　不等式の証明の問題
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□投稿者/ pon 一般人(22回)-(2007/03/13(Tue) 11:59:11)
    nを2以上の自然数とするとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

    1/√2 ≦∫(上端1/√2,下端0)1/√(1-x^n)dx ≦π/4
    という問題です。

    どなたかお願いします。
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■22838 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 不等式の証明の問題
□投稿者/ ゼロ 付き人(83回)-(2007/03/13(Tue) 12:06:34)
    2007/03/13(Tue) 12:07:35 編集(投稿者)

    1≦1/√(1-x^n)
    を両辺0から1/√2まで積分することで、最初の不等号が得られます。

    次にx<1において、x^n≦x^2<1を用いると、1/√(1-x^n)≦1/√(1-x^2)

    この両辺を0から1/√2まで積分し、
    ∫_{0〜1/√2}dx/√(1-x^2)=Arcsinx_{0〜1/√2}=π/4
    を用いると、第2の不等式を得ます。


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■22839 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 不等式の証明の問題
□投稿者/ pon 一般人(23回)-(2007/03/13(Tue) 12:10:37)
    ∫_{0〜1/√2}dx/√(1-x^2)=Arcsinx_{0〜1/√2}=π/4
    上記の部分がよく分からないので、説明お願いできますか；
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■22845 / inTopicNo.4) 　Re[1]: 不等式の証明の問題
□投稿者/ X 付き人(82回)-(2007/03/13(Tue) 13:42:42)
    横から失礼します。
    分からないようならx=sintと置いて置換積分しましょう。
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■22848 / inTopicNo.5) 　Re[2]: 不等式の証明の問題
□投稿者/ pon 一般人(24回)-(2007/03/13(Tue) 13:49:03)
    分からないというのは
    ∫_{0〜1/√2}dx/√(1-x^2)=Arcsinx_{0〜1/√2}=π/4
    の
    ∫_　の部分の＿と
    0〜1/√2の0〜というのと
    ArcsinxのArcというのが分からないんです。

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■22850 / inTopicNo.6) 　Re[3]: 不等式の証明の問題
□投稿者/ ゼロ 付き人(84回)-(2007/03/13(Tue) 13:56:02)
    ∫_{0〜1/√2}dx
    は0から1/√2までの定積分と言う意味で書きました。
    Arcsinはsinの逆関数です。
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■22852 / inTopicNo.7) 　Re[4]: 不等式の証明の問題
□投稿者/ pon 一般人(25回)-(2007/03/13(Tue) 14:03:53)
    その逆関数はまだ習ってなくて分かりませんでした；

    このやり方の他に証明ってすることはできますか？
    自分でやってみてるんですが、最後までいかないんです・・・
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■22853 / inTopicNo.8) 　Re[5]: 不等式の証明の問題
□投稿者/ ゼロ 付き人(86回)-(2007/03/13(Tue) 14:12:20)
    Xさんの書かれたとおりです。
    x=sintと置いて、置換積分してみて下さい。
    1/√(1-x^2)=1/cost
    dx=costdtとなるのでdx/√(1-x^2)=dtです。
    x:0→1/√2 に対し、t:0→π/4です。
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■22854 / inTopicNo.9) 　Re[6]: 不等式の証明の問題
□投稿者/ pon 一般人(26回)-(2007/03/13(Tue) 14:17:42)
    x=sintと置くのは、問題文にある不等式のxですか？
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■22855 / inTopicNo.10) 　Re[7]: 不等式の証明の問題
□投稿者/ pon 一般人(27回)-(2007/03/13(Tue) 16:13:49)
    どなたかいませんか？
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