 | y=asinx (A)
y=(2/3)xsinx (B)
と置きます。
(A)(B)の交点のx座標について
asinx=(2/3)xsinx
∴{a-(2/3)x}sinx=0
∴sinx=0,x=(3/2)a
ここで0≦x≦πゆえ、問題の二つの領域が存在するために
x=0,π,(3/2)a (C)
0<(3/2)a<π (D)
このとき
0≦x≦(3/2)aにおいてasinx≧(2/3)xsinx
(3/2)a≦x≦πにおいて(3/2)xsinx≧asinx
∴二つの領域の面積が等しいことから
∫[0→(3/2)a]{asinx-(2/3)xsinx}dx=∫[(3/2)a→π]{(2/3)xsinx-asinx}dx (E)
(D)(E)を連立して解きます。
((E)の左辺)=a{1-cos(3/2)a}+[(2/3)xcosx][0→(3/2)a]-∫[0→(3/2)a](2/3)cosxdx
=a-(2/3)sin(3/2)a (E)'
((E)の右辺)=-[(2/3)xcosx][(3/2)a→π]+∫[(3/2)a→π](2/3)cosxdx+a{-1-cos(3/2)a}
=(2/3)π+acos(3/2)a-(2/3)sin(3/2)a-a-acos(3/2)a
=(2/3)π-(2/3)sin(3/2)a-a
∴2a=2π/3
∴a=π/3 (E)''
ここで(D)より
0<a<(2/3)π (F)
ですが条件より
0<a<π/2 (G)
ですので(G)がaに対する条件になりますが
(E)''は(G)を満たしています。よって
a=π/3
このとき求める面積の和をSとすると、(E)'より
S=2{a-(2/3)sin(3/2)a}
(E)''を代入して
S=2π/3-4/3
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