数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 定積分 / Page: 0]

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■22822 / inTopicNo.1)

　定積分

□投稿者/ さえ一般人(3回)-(2007/03/12(Mon) 20:39:57)

すみません、また分からないのできました；

連続関数f(x)がf(x)=sinx+1/π∫(上端π、下端0)f(t)sin(x-t)dtを満たすとき、
f(x)は、A、Bを定数として、f(x)=Asinx-Bcosxと表されることを示せ。

です。たびたびですが、お願いします；

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■22826 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 定積分

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□投稿者/ けにい一般人(34回)-(2007/03/12(Mon) 23:28:58)

加法定理から

f(x)
= sin(x) + 1/π∫[0,π] f(t) sin(x-t) dt
= sin(x) + 1/π∫[0,π] f(t) { sin(x)cos(t) - cos(x)sin(t) } dt
= { 1 + 1/π∫[0,π] f(t) cos(t) dt } sin(x) - { 1/π∫[0,π] f(t) sin(t) dt } cos(x)
= A sin(x) - B cos(x)

となります。ここで、4 行目、中括弧の中身をそれぞれ
定数 A, B と置きました。

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■22828 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 定積分

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□投稿者/ さえ一般人(4回)-(2007/03/13(Tue) 00:06:36)

なるほど、ありがとうございます。

あとこれとは問題が別なんですがちょっと質問があるんですがよろしいでしょうか？
ある定積分の問題なんですけど、答えと一致しないんです；

1/2[1/2xsin2x+1/4cos2x](上端π/4, 下端0)-1/2[1/2xsin2x+1/4cos2x](上端π/2,下端π/4)
の答えがπ/8なんですが、ならないんです；
もし良かったら解いてもらえないでしょうか。

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■22831 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 定積分

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□投稿者/ けにい一般人(37回)-(2007/03/13(Tue) 00:53:28)

こんな感じでしょうか。
$2$ \begin{eqnarray*} & & \hspace{-7mm} \frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} -\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &=& \frac{1}{2}\left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right) -\frac{1}{2}\left( -\frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} \right) \\ &=& \frac{1}{2}\left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8} \right) \\ &=& \frac{\pi}{8} \end{eqnarray*}$

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■22833 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 定積分

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□投稿者/ さえ一般人(5回)-(2007/03/13(Tue) 11:19:39)

3行目の式からどうやってπ/8がでてきたんですか？

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■22858 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 定積分

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□投稿者/ けにい一般人(38回)-(2007/03/13(Tue) 17:33:09)

まず -1/4 と 1/4 がキャンセルしますね。
次に π/8 と π/8 を足して π/4 です。
そこに 1/2 をかければ π/8 となります。

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