数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 接線で囲まれた図形の面積 / Page: 0]

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■22821 / inTopicNo.1)

　接線で囲まれた図形の面積

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□投稿者/ ふさ一般人(1回)-(2007/03/12(Mon) 20:32:04)

曲線C:y=e^(ax)と直線L:y=bxが接しているとき、C, L, およびy軸で囲まれた図形の面積を、aを用いてあらわせ。ただし、a,bは正の定数。

このような問題なのですが、どなたかお願いします。

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■22827 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 接線で囲まれた図形の面積

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□投稿者/ けにい一般人(35回)-(2007/03/12(Mon) 23:58:44)

指数関数 y = e^(ax) の導関数は y' = a e^(ax) なので
x = t における接線の方程式は

y = a e^(at)(x - t) + e^(at)

となります。これが直線 y = bx と一致するためには

b = a e^(at)
e^(at) - at e^(at) = 0

となる必要があります。したがって t = 1/a が得られ、
接線は y = ae x であり、x = 1/a で接することが分かり
ます。今、指数関数よりも接線の方が下にありますから、
囲まれる部分の面積は

S = ∫[0,1/a] { e^(ax) - ae x } dx

となります。

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■22829 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 接線で囲まれた図形の面積

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□投稿者/ ふさ一般人(2回)-(2007/03/13(Tue) 00:09:49)

2007/03/13(Tue) 00:11:18 編集(投稿者)

返信ありがとうございます。

答えを見たところ、e-2/2aとなっていました。
上記からどのように出したらいいですか？

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■22830 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 接線で囲まれた図形の面積

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□投稿者/ けにい一般人(36回)-(2007/03/13(Tue) 00:29:25)

つまり
$2$ \begin{eqnarray*} S &=& \displaystyle\int_0^{\frac{1}{a}} (e^{ax}-aex)\,dx \\ &=& \left[ \frac{1}{a}e^{ax}-\frac{1}{2}aex^2 \right]_0^{\frac{1}{a}} \\ &=& \frac{e}{a}-\frac{e}{2a}-\frac{1}{a} \\ &=& \frac{e-2}{2a} \end{eqnarray*}$
です。

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■22846 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 接線で囲まれた図形の面積

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□投稿者/ ふさ一般人(3回)-(2007/03/13(Tue) 13:45:50)

ありがとうございました！

解決済み!

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