数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 因数分解 / Page: 0]

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■22820 / inTopicNo.1)

　因数分解

▼■

□投稿者/ さすらい一般人(2回)-(2007/03/12(Mon) 20:22:51)

x^5+y^5
の因数分解の式を教えてください。よろしくお願いします。

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■22823 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 因数分解

▲▼■

□投稿者/ けにい一般人(32回)-(2007/03/12(Mon) 22:25:35)

与式は $2$y = -x$ と置くと 0 になりますから (x + y) を因数に
もつことが分かります。あとは筆算で

　　 ------------
1　1 ）1 0 0 0 0 1

を行えば $2$(x+y)(x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - x y^3 + y^4)$ が
得られます。

少し技巧的にやってみます。
$2$x^5+y^5 = 0$ と置くと $2$y^5\left(\left(\frac{x}{y}\right)^5 + 1\right) = 0$ なので
$2$\frac{x}{y}$ に関する 5 次方程式 $2$\left(\frac{x}{y}\right)^5 = -1$ が
得られます。オイラーの公式を用いて解くと
$2$ \frac{x}{y} = e^{i\pi\frac{1+2k}{5}},\quad k=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2$
が解となります。すなわち
$2$ \begin{eqnarray*} x^5 + y^5 &=& \left( x - e^{-\frac{3}{5}i\pi}y \right) \left( x - e^{-\frac{1}{5}i\pi}y \right) \left( x - e^{\frac{1}{5}i\pi}y \right) \left( x - e^{\frac{3}{5}i\pi}y \right) (x+y) \\ &=& (x+y)(x^2-2\cos \left(\frac{1}{5}\pi\right)xy+y^2) (x^2-2\cos \left(\frac{3}{5}\pi\right)xy+y^2) \end{eqnarray*}$
と分解できます。

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