数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 媒介変数の問題 / Page: 0]

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■22806 / inTopicNo.1)

　媒介変数の問題

□投稿者/ さくらん一般人(10回)-(2007/03/12(Mon) 15:35:07)

曲線Cが媒介変数tを用いて、
C:x=t+sin(t), y=1-cos(t) (0≦t≦π) で与えられている。

(1)0<t<πの範囲で、dy/dxをtで表せ。

(2)曲線C,x軸および直線x=πで囲まれた図形の面積を求めよ。

学校でやっていなく困ってます；
答えは(1)がsin(t)/1+cos(t)
(2)はπ/2です。

2題ですが、宜しくお願いします。

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■22815 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 媒介変数の問題

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□投稿者/ さくらん一般人(13回)-(2007/03/12(Mon) 18:12:18)

どなたか分かるかたいませんか？

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■22816 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 媒介変数の問題

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□投稿者/ 豆付き人(81回)-(2007/03/12(Mon) 18:44:02)

まず、何をやろうとしているのか明確にするために曲線Cの
およその形を書いてみましょう。
普通、グラフはy=f(x)で書きますが、この場合は直接この形には
できません。
そこで、とりあえずθ=0、π/4、π/2、3π/4、πを入れて、
(x,y)を5点出してつないでみましょう。

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■22817 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 媒介変数の問題

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□投稿者/ 豆付き人(83回)-(2007/03/12(Mon) 18:47:46)

さて(1)番です。
dy/dxはこのグラフの各点における傾きですね。
しかし、これも直接出すわけにはいきません。
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)をいう関係を使いましょう。
y,xをそれぞれtで微分して割り算すればよいですね。

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■22818 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 媒介変数の問題

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□投稿者/ けにい一般人(31回)-(2007/03/12(Mon) 18:50:26)

(1) は $2$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
という公式を用いればすぐできますよ。

(2) 曲線 C と x 軸とが交わるとき x 軸は y = 0 なので
0 = y = 1 - cos(t) ⇒ t = 0 となります。また、曲線 C
と x = π とが交わるとき π = x = t - sin(t) ⇒ t = π
となります(ちょっと苦戦 ^^;)。常に y = 1 - cos(t) が 0
以上であることを考慮すれば、面積は $2$S = \displaystyle\int_0^{\pi} y\,dx$
となります。更に $2$dx = (1+\cos t)\,dt$ であり、 $2$x:\,0\to\pi$
のとき $2$t:\,0\to\pi$ なので
$2$ \begin{eqnarray*} S &=& \displaystyle\int_0^{\pi} (1-\cos t)(1+\cos t)\,dt \\ & & \cdots \\ &=& \frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$
となります。

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■22819 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 媒介変数の問題

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□投稿者/ さくらん一般人(14回)-(2007/03/12(Mon) 19:24:53)

豆さん、けにいさん、どうもありがとうございました♪

解決済み!

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