数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 部分積分 / Page: 0]

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■22805 / inTopicNo.1)

　部分積分

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□投稿者/ さえ一般人(1回)-(2007/03/12(Mon) 15:27:11)

自然数nについて、I(n)=∫｛上端x,下端1｝(logt)^n dtとする。

I(n+1)=x(logx)^(n+1)-(n+1)I(n)が成り立つことを示せという問題です。
お願いします。

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■22808 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 部分積分

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□投稿者/ けにい一般人(28回)-(2007/03/12(Mon) 16:37:28)

2007/03/12(Mon) 16:40:19 編集(投稿者)

積分
$2$I_{n+1} = \displaystyle\int_1^x (\log t)^{n+1}\,dt$
の被積分関数 $2$(\log t)^{n+1}$ を微分したら、べき乗 $2$n+1$
が一つ下がるな、と当たりをつけます。また、 $2$(\log t)^{n+1}$
の前に $2$1$ が掛かっていることを考慮し、これを部分積分する
のだと考えます。実際、 $2$n\geq 0$ のとき部分積分すると
$2$ \begin{eqnarray*} I_{n+1} &=& \displaystyle\int_1^x (\log t)^{n+1}\,dt \\ &=& \left[ t(\log t)^{n+1} \right]_1^x - \displaystyle\int_1^x t(n+1)(\log t)^n \frac{1}{t}\,dt \\ &=& x(\log x)^{n+1} - (n+1)I_n \\ \end{eqnarray*}$
となります。

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■22809 / inTopicNo.3)

　（削除）

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□投稿者/ -(2007/03/12(Mon) 16:44:26)

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■22811 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 部分積分

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□投稿者/ けにい一般人(30回)-(2007/03/12(Mon) 17:09:14)

すみません。「n ≧ 0」のことです。