数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 関数の連続、不連続 / Page: 0]

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■22796 / inTopicNo.1)

　関数の連続、不連続

□投稿者/ ちょこ一般人(8回)-(2007/03/12(Mon) 12:04:40)

f(x)=x^2sin(1/x) （x≠0のとき）
f(x)=0 （x=0のとき）
と定める。このとき導関数f'(x)がx=0において不連続であることを示せ。

という問題なのですが、なぜf(x)=0(x=0のとき)といちいち書いてあるのわかりません。
あと解答の方針はf'(0)が存在し、lim[x→0]f'(x)が存在し、それらが一致しない
ことを示す　でいいでしょうか？

出来れば、解答をお願いします。

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■22800 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 関数の連続、不連続

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□投稿者/ ゼロ付き人(80回)-(2007/03/12(Mon) 13:53:59)

f(x)=x^2sin(1/x) （x≠0のとき）

> という問題なのですが、なぜf(x)=0(x=0のとき)といちいち書いてあるのわかりません。

これはx^2sin(1/x)がx=0で値を定義できない関数だからです。

> あと解答の方針はf'(0)が存在し、lim[x→0]f'(x)が存在し、それらが一致しない
> ことを示す　でいいでしょうか?

はい、その方針でよいと思います。
具体的には、
f'(0)=lim_{h→0} [f(h)-f(0)]/h=lim_{h→0} hsin(1/h)=0

一方x≠0で、f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
となり、lim_{x→0}f'(x)=lim_{x→0}cos(1/x)・・・極限なし

と言う事実を用いればよいと思います。

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■22801 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 関数の連続、不連続

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□投稿者/ ちょこ一般人(10回)-(2007/03/12(Mon) 14:17:00)

■No22800に返信(ゼロさんの記事)
解答有難う御座います。
> これはx^2sin(1/x)がx=0で値を定義できない関数だからです。
x=0のとき0^2sin(1/0)で1/0が存在しない数字だから定義できないのでしょうか？
lim[h→0]hsin(1/h)も0sin(1/0)となってしまうような感じがするのですが
なぜ0となるのしょうか？

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■22802 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 関数の連続、不連続

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□投稿者/ ゼロ付き人(81回)-(2007/03/12(Mon) 14:27:43)

> x=0のとき0^2sin(1/0)で1/0が存在しない数字だから定義できないのでしょうか？

その通りです。

> lim[h→0]hsin(1/h)も0sin(1/0)となってしまうような感じがするのですが
> なぜ0となるのしょうか？

|sin(1/h)|≦1より、|hsin(1/h)|≦|h|→0
よってlim[h→0]hsin(1/h)=0となります。

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■22803 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 関数の連続、不連続

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□投稿者/ ちょこ一般人(12回)-(2007/03/12(Mon) 15:03:14)

有難うございます。ほぼ解決しました。
それとちょっと基礎的な質問なんですが
例えば、sin(1/x)のxに0という数値をそのまま代入するときは定義できないが、
lim[x→0]sin(1/x)はxを限りなく0に近づける動作を行っていて1/0ではないから
定義できるということでしょうか？

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■22863 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 関数の連続、不連続

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□投稿者/ 白沢黎一般人(8回)-(2007/03/13(Tue) 20:13:14)
http://quiet0genius0at0work.blog95.fc2.com/

それでおおかた間違っていないのではないかと思います。
lim[x→0]sin(1/x)はxを「0とは異なる値をとりながら0に限りなく近づいていく」という意味ですもんね。
一応今度数学の先生に確認してみます。

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