 | ((1 + √2)/3)^n = a[n] + √2 b[n] ･･･ (1)
(i) 二項定理から
(1 ± √2)^(2n)
= ∑[k:0,2n] C[2n,k] (±√2)^k
= ∑[k:0,n] C[2n,2k] (±√2)^(2k) + ∑[k:0,n-1] C[2n,2k+1] (±√2)^(2k+1)
= { ∑[k:0,n] C[2n,2k] 2^k } ± { ∑[k:0,n-1] C[2n,2k+1] 2^k } √2
となる(C[n,k] = nCk)。したがって
a[2n] = 1/3^(2n) ∑[k:0,n] C[2n,2k] 2^k
b[2n] = 1/3^(2n) ∑[k:0,n-1] C[2n,2k+1] 2^k
であり、かつ a[2n] - √2 b[2n] = (1 - √2)^(2n) が得られる。
また (1 ± √2)^(2n+1) について同様に議論すれば、結局
a[n] - √2 b[n] = ((1 - √2)/3)^n ･･･ (2)
を得る。
(ii) 式 (1), (2) を辺々加えたり引いたりすると
a[n] = { ((1 + √2)/3)^n + ((1 - √2)/3)^n } / 2
b[n] = { ((1 + √2)/3)^n - ((1 - √2)/3)^n } / (2√2)
が得られる。ここで p = (1 + √2)/3, q = (1 - √2)/3 と置くと
|p| > |q| なので
b[n]/a[n]
= { (p^n - q^n)/(2√2) } / { (p^n + q^n)/2 }
= 1/√2 (1 - (q/p)^n)/(1 + (q/p)^n)
→ 1/√2 (n → ∞)
となる。計算ミスあったらすみません。
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