数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 積分　曲線の長さ / Page: 0]

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■22718 / inTopicNo.1)

　積分　曲線の長さ

□投稿者/ Sateu 一般人(1回)-(2007/03/09(Fri) 17:49:05)

この問題がわからないので教えてください

次の曲線の長さを求めよ。

(1) $2$y=\frac{x^2}{4}-\frac{\log x}{2}$ (1≦x≦2)

(2) $2$y=\log \left(x+ \sqrt{x^2-1}\right)$ (2≦x≦3)

よろしくお願いします。

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■22719 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分　曲線の長さ

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□投稿者/ けにい一般人(20回)-(2007/03/09(Fri) 18:49:18)

(1) 関数 f(x) = x^2/4 - log(x)/2 の導関数は
f'(x) = 1/2(x - 1/x) なので、弧長は

L = ∫[1,2] √(1 + f'(x)^2) dx
= ∫[1,2] √(1 + 1/4(x^2 - 2 + 1/x^2)) dx
= ∫[1,2] √(1/4(x^2 + 2 + 1/x^2)) dx
= ∫[1,2] √(1/4(x + 1/x)^2) dx
= 1/2 ∫[1,2] (x + 1/x) dx
= 1/2 ( [ 1/2 x^2 ]_[1,2] + [ log(x) ]_[1,2] )
= 1/2 ( 2 - 1/2 + log(2) - log(1) )
= 3/4 + 1/2 log(2)

となります。

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■22720 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分　曲線の長さ

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□投稿者/ Sateu 一般人(3回)-(2007/03/09(Fri) 18:55:37)

けにいさん丁寧な途中式を書いてくださってありがとうございます。

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■22721 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 積分　曲線の長さ

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□投稿者/ けにい一般人(22回)-(2007/03/09(Fri) 19:31:38)

(2) 関数 f(x) = log(x + √(x^2 - 1)) の導関数は

f'(x)
= (1 + x/√(x^2 - 1))/(x + √(x^2 - 1))
= (1 + x/√(x^2 - 1))(x - √(x^2 - 1))
= -√(x^2 - 1) + x^2/√(x^2 - 1)
= 1/√(x^2 - 1)

となります。したがって、弧長は

∫[2,3] √(1 + f'(x)^2) dx
= ∫[2,3] √(1 + 1/(x^2 - 1)) dx
= ∫[2,3] x/√(x^2 - 1) dx
= [ √(x^2 - 1) ]_[2,3]
= 2√2 - √3

となります。

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■22748 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 積分　曲線の長さ

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□投稿者/ Sateu 一般人(4回)-(2007/03/10(Sat) 20:13:06)

けにいさんありがとうございました
助かりました

解決済み!

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