数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 側面積です / Page: 0]

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■22698 / inTopicNo.1)

　側面積です

▼■

□投稿者/ ouo 一般人(6回)-(2007/03/08(Thu) 22:31:32)

z軸を軸とした無限に長い半径１の円柱がある。
この円柱のz≧0, x+y+z≦1の部分の側面積を求めよ。

ご教授お願いいたします。

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■22707 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 側面積です

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□投稿者/ X 付き人(75回)-(2007/03/09(Fri) 10:40:57)

2007/03/10(Sat) 15:49:28 編集(投稿者)

問題の領域をT,求める面積をSとすると
S=∬[T]dS (A)
T:x^2+y^2=1,x+y+z≦1,z≧0
ここで円柱座標
x=rcosθ
y=rsinθ
(ｚはそのまま)
を考えると
dS=rdθdz (B)
又
T:r^2=1,r(sinθ+cosθ)+z≦1,z≧0,π/2≦θ≦2π
∴
T:0≦z≦1-sinθ-cosθ,π/2≦θ≦2π,r=1 (C)
で(B)は
dS=dθdz (B)'
(A)(B)'(C)より
S=∫[θ:π/2→2π]∫[z:0→1-sinθ-cosθ]dzdθ
=∫[θ:π/2→2π](1-sinθ-cosθ)dθ
=[θ+cosθ-sinθ][θ:π/2→2π]
=2π-π/2+1+1
=2+(3/2)π

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■22709 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 側面積です

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□投稿者/ X 付き人(76回)-(2007/03/09(Fri) 13:25:50)

別解）
条件から問題の立体は、平面z=1で二つに分割して、元の立体において
平面x+y+z=1
上にあった境界面で再度結合することで
底面が半径1の円で高さが1の円柱
になり、面積を求めたい側面は丁度この円柱の側面となります。
よって求める側面積は
(2π・1)・1=2π

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■22712 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 側面積です

▲▼■

□投稿者/ ouo 一般人(7回)-(2007/03/09(Fri) 14:12:55)

返信ありがとうございます。

θは、0～2πでいけますか？

あと、これに関する回答なのですが、
↓がわからないので、何かコメントをお願いいたします。

(1/√3)x+(1/√3)y+(1/√3)z=(1/√3)
x=Xcos(π/4)-Ysin(π/4)=(1/√2)(X-Y)
y=Xsin(π/4)+Ycos(π/4)=(1/√2)(X+Y) とおく。

z=-√2X+1
X^2+Y^2=1

Y=√(1-x^2), dY/dX=-X/√(1-X^2)
1+Y'^2=1/(1-x^2)

S=2∫(-√2X+1)*1/√(1-x^2)dx x:-1～1/√2
答えは、2+3π/2

とかかれていましたが、
この方法はあっているのですか？
～とおく、　という部分あたりからさっぱりです。

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■22731 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 側面積です

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□投稿者/ X 付き人(77回)-(2007/03/10(Sat) 15:31:40)

2007/03/10(Sat) 15:45:42 編集(投稿者)

> θは、0～2πでいけますか？
ごめんなさい。境界面である
x+y+z=1
が
問題の円柱の底面である
x~2+y^2≦1,z=0
を切断していることを見逃していました。
θは、π/2～2πにとる必要がありますね。
22707のレスを修正しておきますのでご覧下さい。
もう一つ。
No.22709のレスで書いた別解はそれに伴い完全な誤りですので無視して下さい。

> あと、これに関する回答なのですが、
> ↓がわからないので、何かコメントをお願いいたします。
>
> (1/√3)x+(1/√3)y+(1/√3)z=(1/√3)
> x=Xcos(π/4)-Ysin(π/4)=(1/√2)(X-Y)
> y=Xsin(π/4)+Ycos(π/4)=(1/√2)(X+Y) とおく。
>
> z=-√2X+1
> X^2+Y^2=1
>
> Y=√(1-x^2), dY/dX=-X/√(1-X^2)
> 1+Y'^2=1/(1-x^2)
>
> S=2∫(-√2X+1)*1/√(1-x^2)dx x:-1～1/√2
> 答えは、2+3π/2
>
>
> とかかれていましたが、
> この方法はあっているのですか？
> ～とおく、　という部分あたりからさっぱりです。

方針は問題ありません。
この解法の方針は以下の通りです。
まず
> (1/√3)x+(1/√3)y+(1/√3)z=(1/√3)
> x=Xcos(π/4)-Ysin(π/4)=(1/√2)(X-Y)
> y=Xsin(π/4)+Ycos(π/4)=(1/√2)(X+Y) とおく。
ですが、これは問題の立体が
平面
y=x
に関して対称になっていますので、zx平面に関して対称になるように
z軸に関して-π/4だけ回転移動させることを示しています。
この回転移動により、境界面である
x+y+z=1 (A)
は
z=-x√2+1 (B)
に移動します。

> (1/√3)x+(1/√3)y+(1/√3)z=(1/√3)
は、
x+y+z=1
の両辺を√3で割っているようですが、この計算は不要であると思います。

次に
> Y=√(1-x^2), dY/dX=-X/√(1-X^2)
> 1+Y'^2=1/(1-x^2)
>
> S=2∫(-√2X+1)*1/√(1-x^2)dx x:-1～1/√2
ですが、これは回転移動後の立体をyz平面に平行な平面で幅が微小な短冊に
区切ったものの面積を考えることで求める側面積を計算しています。
今、底面の曲線の長さをl,求める面積をSとすると
dS=zdl (B)
一方,上記の計算の通り
dl=√{1+(dy/dx)^2}dx (C)
y=√(1-x^2) (D)
(zx平面に関する対称性によりy≧0の部分のみで考えています。)
zx平面に関する対称性に注意すると,(A)(B)(C)(D)により
S=2∫[x:-1→1/√2]dS
(回転移動により、問題の円柱が平面(B)により切断されており、(B)と
xy平面との交線が
x=1/√2,z=0
になっている)
=2∫[x:-1→1/√2]zdl
=2∫[x:-1→1/√2](-x√2+1)√{1+(-x/√(1-x^2))^2}dx
=2∫[x:-1→1/√2]{(-x√2+1)/√(1-x^2)}dx
=2[√2√(1-x^2)+arcsinx][x:-1→1/√2]
=2(1+π/4+π/2)
=2+3π/2

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■22757 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 側面積です

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□投稿者/ ouo 一般人(8回)-(2007/03/11(Sun) 03:35:23)

返信ありがとうございます。

22707にある回答のほうがよさそうなのでそれをマスターしてみます。
22731のほうは、むずかしいですね。

ところで、π/2～2πになる理由を出来れば詳しく教えていただけませんか。

ちょっとやってみましたけども、

z=0で、x+y≦1, x^2+y^2≦1ですよね。
x^2+y^2≦1, x+y=1で、y=1-xを代入すると、
x^2+x^2-2x+1≦1

2x^2-2x≦0

x(x-1)≦0

cosθ(cosθ-1)≦0

θ=π/2, θ=2π

こういうことなのかな？

いや、cosθ(cosθ-1)≧0かな？

≧こっちの記号だと、π/2～2πに見事当てはまる・・。

ご教授お願いいたします＞＜

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■22775 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 側面積です

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□投稿者/ X 付き人(80回)-(2007/03/11(Sun) 16:16:26)

その方針で考えるのであれば
x^2+y^2=1 (A)
x+y≦1 (B)
を連立で解く必要がありますね。
(A)から
x=cosθ (A)'
y=sinθ (A)''
0≦θ≦2π (C)
と置いてみると、(B)は
cosθ+sinθ≦1
∴√2sin(θ+π/4)≦1
sin(θ+π/4)≦1/√2 (B)'
ここで(C)より
π/4≦θ+π/4≦2π+π/4
∴(B)'より
3π/4≦θ+π/4≦2π+π/4
∴π/2≦θ≦2π

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■22778 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 側面積です

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□投稿者/ ouo 一般人(9回)-(2007/03/11(Sun) 17:05:45)

なるほど。解決しました。ありがとうございました(＾＾)

解決済み!

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