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■22689 / inTopicNo.1) 　微分方程式
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□投稿者/ コック 一般人(1回)-(2007/03/08(Thu) 09:09:16)
    はじめまして。
    この微分方程式を使う文章問題が思うように解けません・・・。

    A rocket of initial mass (m_0) travels vertically upwards with initial velocity (v_0). The rocket loses mass at a constant rate.

    Solve differential equation.

    質量(m_0)のロケットが初速度,(v_0)で垂直に上昇する時。ロケットの質量は一定に減少する。

    この問題の式を作る過程から、つまずいております。時間と共に質量、速度が変化すると言う事はりかいできますが。それをF=ma、の公式を応用して、正しい式にする事ができずに悩んでいます。どなたかご指導お願いします。

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■22690 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 微分方程式
□投稿者/ ゼロ 付き人(67回)-(2007/03/08(Thu) 09:26:01)
    他の掲示板でもご質問されていたようですね^^
    書き込まれた掲示板は数学専門の掲示板なので回答がつきにくかったのでしょう。

    さて質量を失うとのことですが、失った質量はどうなるとかほかに条件はありませんか?
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■22691 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 微分方程式
□投稿者/ コック 一般人(2回)-(2007/03/08(Thu) 09:43:47)
    ゼロさんありがとうございます。

    ほかの掲示板で回答を頂けませんでしたので、削除し、改めてこちらに投稿させて頂きました。

    速度、加速度も時間とともに変化するので dv/dt

    質量は　（−dm/dt）だと思います。
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■22692 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 微分方程式
□投稿者/ ゼロ 付き人(69回)-(2007/03/08(Thu) 09:55:33)
    すみません。誤解を招いたようです。
    通常このような問題では、例えば「質量の減少分を相対速度uで放出する」
    などの条件がつくのですが、そのような条件はないでしょうか?
    つまり、ロケットは次第に質量を失いますが、その質量の放出条件はないでしょうか?
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■22693 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 微分方程式
□投稿者/ コック 一般人(4回)-(2007/03/08(Thu) 10:13:12)
    > 通常このような問題では、例えば「質量の減少分を相対速度uで放出する」
    > などの条件がつくのですが、そのような条件はないでしょうか?
    > つまり、ロケットは次第に質量を失いますが、その質量の放出条件はないでしょうか?

    It is asssumed that the loss of mass travels backward at a constant speed (b) relative to the roket.
    上記が問題文の解答に補足されておりました。

    また教科書の端書より
    When the rocket mass at a constant rate.　ｍ＝(ｍ_0)+(a)t


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■22694 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 微分方程式
□投稿者/ ゼロ 付き人(71回)-(2007/03/08(Thu) 10:26:42)
    2007/03/08(Thu) 10:37:54 編集(投稿者)

    つまりロケットに対して相対速度bで打ち出されるわけですね。

    運動量保存則を用います。
    時刻tにロケットの質量がm(t)だったとします。
    また時刻tのロケットの速度をv(t)とします。
    単位時間あたりに放出される質量をaとします。
    放出された質量の実際の速度は、-b+v(t)です。

    運動量保存則の式は
    m(t)v(t)=m(t+dt)v(t+dt)+adt(-b+v(t))
    となります。
    これから微分方程式は

    d/dt(mv)=-a(-b+v)
    dm/dt=-aを用いると、

    mdv/dt=ab
    m=m_0-atを代入して、積分を実行します。

    v=-blog(m_0-at)+C
    初期条件を代入して、
    C=v_0+blogm_0

    よってv=v_0-blog[(m_0-at)/m_0]

    さらにtで積分するとx(t)が出ます。
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■22697 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 微分方程式
□投稿者/ コック 一般人(11回)-(2007/03/08(Thu) 22:05:17)
    2007/03/08(Thu) 22:07:10 編集(投稿者)
    2007/03/08(Thu) 22:06:58 編集(投稿者)
    2007/03/08(Thu) 22:06:53 編集(投稿者)

    ゼロさん解説大変ありがとうございます。


    積分計算は理解できたのですが、運動方程式を整理するところで少々自身がありません。
    > 運動量保存則の式は
    > m(t)v(t)=m(t+dt)v(t+dt)+adt(-b+v(t))
    > となります。
    > これから微分方程式は
    > d/dt(mv)=-a(-b+v)
    上記の上から下までの流れがうまく掴めておりません。

    左辺のm(t)v(t)は右辺の(mt+mdt)(vt+vdt)を展開した(mt)(vt)+(mt)(vdt)+(mdt)(vt)+(mdt)(vdt)の(mt)(vt)によって打ち消されると考えてよろしいでしょうか？


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■22704 / inTopicNo.8) 　重力を。。。
□投稿者/ コック 一般人(6回)-(2007/03/09(Fri) 05:26:25)
    先ほど思ったのですが重力を必ず考慮しないといけない事に気付きました。

    v=(v_0)-(b)log[(m_0-at)/m_0]-(gt)

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■22713 / inTopicNo.9) 　Re[8]: 重力を。。。
□投稿者/ ゼロ 付き人(75回)-(2007/03/09(Fri) 15:21:55)
    重力が考慮されるなら、コックさんが書かれた式になりますね。
    その際は(運動量の変化=力積)という考え方を用いると良いでしょう。

    あと運動方程式の整理に関してもコックさんが書かれた考えで合ってます。

    もしくは
    [m(t+dt)v(t+dt)-m(t)v(t)]/dt=d(mv)/dt=mdv/dt+vdm/dt
    とお考え頂ければ宜しいのではないでしょうか?
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■22764 / inTopicNo.10) 　Re[9]: 重力を。。。
□投稿者/ コック 一般人(7回)-(2007/03/11(Sun) 14:08:18)
    ゼロさん

    いろいろとアドバイスを頂きまして、本当にありがとうございました。とても勉強になりました。
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