 | 1.
(1) f(x) = |x|/x
任意の 0 < δ < 1/2 に対して f(-1) = f(-1±δ) = -1
ですから lim[x→-1] f(x) = f(-1) = -1 となります。
したがって f は x = -1 で連続。
(2) f(x) = [x]
任意の 0 < δ < 1/2 に対して f(0-δ) = -1, f(0) = 0
ですから -1 = lim[x→0-0] f(x) ≠ f(0) = 0 となります。
したがって f は 0 で不連続。
2.
(1) 関数 f は f(x) = (x + 2)/(x^2 - x + 1)
= (x + 2)/((x - 1/2)^2 + 3/4) であり分母が常に正の有理式
です。したがって f は R 全体で連続。
(2) 関数 f は f(x) = √(x^2 - x - 6) = √((x + 2)(x - 3))
であり x ≦ -2, x ≧ 3 でのみ定義され、その範囲で連続です。
3.
(1)
(sin(πx))/(x - 1)
= -π sin(π(x - 1))/(π(x - 1))
→ -π (x → 1)
(2) 表記が良く分かりません。
( tan(x)^0/x = 1/x: 発散? (x → 0) )
4. 方程式 f(x) = x - (1/3)^x = 0 において、左辺 f(x) は
連続であり、x = 0 のとき f(x) = -1 < 0, かつ x = 1 のとき
f(x) = 2/3 > 0 です。中間値の定理より (0, 1) の範囲で解を
もちます。
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