数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 整数問題 / Page: 0]

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■22665 / inTopicNo.1)

　整数問題

□投稿者/ m(__)m 一般人(1回)-(2007/03/05(Mon) 17:25:38)

xyz空間において方程式
$2$x^2+y^2=z$
で表される曲面S上の格子点を考える。自然数 $2$n$ を定めた時
(2^n,b,c),(a,b,2c) (a,b,cは自然数)
という格子点の組がS上に何組存在するか求めよ。

お願いします。m(__)m

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■22668 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(593回)-(2007/03/06(Tue) 00:46:24)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

(2^n,b,c)をx^2+y^2=zに代入すると (2^n)^2+b^2=c … (1)
(a,b,2c)をx^2+y^2=zに代入すると a^2+b^2=2c … (2)
(1)×2-(2) から 2(2^n)^2+b^2-a^2=0
整理して (a+b)(a-b)=2^(2n+1)
a+b＞a-bであり、a+bは偶数なのでa-bは偶数となり、a-b≧2
よって2^(2n+1)をa+bとa-bの2数の積に分ける方法は
a+b=2^(n+1), a-b=2^n
a+b=2^(n+2), a-b=2^(n-1)
a+b=2^(n+3), a-b=2^(n-2)
・・・
a+b=2^(2n), a-b=2^1
のn通りなので、答はn組

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