 | まず y = (x - 1)|x - a| は
x ≧ a のとき y = (x - 1)(x - a)
x ＜ a のとき y = -(x - 1)(x - a)
という意味ですが、a ＜ 1 の場合と a ≧ 1 の場合の二種類
のグラフを描いてみましょう。
(1) a < 1 のとき、x = a, 1 で x 軸と交わる下に凸な放物線
を x < a の部分で折り返したグラフになります。直線 y = mx
と放物線 y = (x - 1)(x - a) が一点で接するような m を求め
ます。これは
(x - 1)(x - a) = mx
⇒ x^2 - (a+m+1)x + a = 0
の判別式 D = (a+m+1)^2 - 4a = 0 のときなので m = -a ± 2√a - 1
= -(√a - 1)^2 となります。ただし、グラフを参考に ± のうち
|m| が小さくなる + を採用しました。更に、グラフを参考にすると
-(√a - 1)^2 < m < 0
が求める範囲と分かります。
(2) a ≧ 1 のときも、上と同様にできるはずです。
|