 | 2007/03/01(Thu) 14:09:34 編集(投稿者)
余りスマートな方法ではないことをあらかじめ断っておきます。
△ABCに対して余弦定理より
cos∠ABC=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB・BC)=(16+9-4)/24
=7/8 (A)
cos∠BAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB・AC)=(16+4-9)/16
=11/16 (B)
(B)より
cos∠BAD=cos((π-∠BAC)/2+∠BAC)
=-sin(∠BAC/2)
=-√{(1-cos∠BAC)/2}(∵)半角の公式
=-√{(1-11/16)/2}
=-(1/8)√10 (C)
sin∠BAD=√{1-(cos∠BAD)^2}
=(3/8)√6 (D)
(A)より
sin∠ABC=√{1-(cos∠ABC)^2}
=(1/8)√15 (E)
よって
sin∠ADB=sin(π-∠ABC-∠BAD)
=sin(∠ABC+∠BAD)
=sin∠ABCcos∠BAD+cos∠ABCsin∠BAD
=-(1/8)√15(1/8)√10+(7/8)(3/8)√6
=-(5/64)√6+(21/64)√6
=(1/4)√6 (F)
一方△ABDに対して正弦定理により
AB/sin∠ADB=AD/sin∠ABC (G)
(G)に(E),(F),AB=4を代入すると
4/{(1/4)√6}=AD/{(1/8)√15}
∴AD=4{(1/8)√15}/{(1/4)√6}
=2√(5/2)
=√10
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