数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 集合 / Page: 0]

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■22465 / inTopicNo.1)

　集合

□投稿者/ さやか一般人(1回)-(2007/02/28(Wed) 13:59:16)

200以上、500以下の整数のうち、次のような整数はいくつあるかという問題です。

(1)3か5か7の倍数になる整数
(2)3の倍数だが5の倍数でも7の倍数でもない整数

(1)は164 (2)は69と答えだけ分かってるんですが、解き方が分かりません。

誰か宜しくお願いします。

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■22467 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 集合

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□投稿者/ X 付き人(62回)-(2007/02/28(Wed) 14:14:31)

集合で考えます。
200以上500以下の整数の内で、3,5,7の倍数であるものの集合を
それぞれA,B,Cとしします。
そこで前準備。
例えば集合Xの要素の数をN[X]とすると
500÷3=166余り2
200÷3=66余り2
より
N[A]=166-66=100

500÷5=100余り0
200÷5=40余り0
より
N[B]=100-40+1=61

500÷7=71余り3
200÷7=28余り4
より
N[C]=71-28=43

又
500÷15=33余り5
200÷15=13余り5
より
N[A∩B]=33-13=20
500÷35=14余り10
200÷35=5余り25
より
N[B∩C]=14-5=9
500÷21=23余り17
200÷21=9余り11
より
N[C∩A]=23-9=14

更に
500÷105=4余り80
200÷105=1余り95
より
N[A∩B∩C]=4-1=3
(検算お願いします。)
（続く）

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■22468 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 集合

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□投稿者/ X 付き人(63回)-(2007/02/28(Wed) 14:39:20)

(No.22467のレスの続き)
又、200以上500以下の整数の集合をUとすると
N[U]=500-200+1=301
(1)
求める数をnとして
n=N[A∪B∪C]=N[(A∪B)∪C]
=N[A∪B]+N[C]-N[(A∪B)∩C]
ここで
N[A∪B]=N[A]+N[B]-N[A∩B]
N[(A∪B)∩C]=N[(A∩C)∪(B∩C)]
=N[A∩C]+N[B∩C]-N[(A∩C)∩(B∩C)]
=N[A∩C]+N[B∩C]-N[A∩B∩C]
∴
n=N[A]+N[B]+N[C]+N[A∩B∩C]-N[A∩B]-N[B∩C]-N[A∩C]
=100+61+43+3-20-9-14
=207-43
=164

(2)
例えばUに対するXの補集合を^Xと表すことにします。
求める数をmとすると
m=N[A∩^B∩^C]
=N[U]-N[^(A∩^B∩^C)]
=N[U]-N[^A∪B∪C](∵)ドモルガンの定理
ここで(1)の過程により
N[^A∪B∪C]=N[^A]+N[B]+N[C]+N[^A∩B∩C]-N[^A∩B]-N[B∩C]-N[^A∩C]
（(∵)N[A∪B∪C]のAを^Aに置き換えただけです。）
={N[U]-N[A]}+N[B]+N[C]+{N[B∩C]-N[A∩B∩C]}
-{N[B]-N[A∩B]}-N[B∩C]-{N[C]-N[A∩C]}
=N[U]-N[A]+N[A∩B]+N[A∩C]-N[A∩B∩C]
∴
m=N[A]-N[A∩B]-N[A∩C]+N[A∩B∩C]
=100-20-14+3
=69

注）計算量だけは沢山ありますが、やっているのは足し算引き算だけです。
めげずに練習だと思って頑張りましょう。

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■22469 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 集合

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□投稿者/ さやか一般人(2回)-(2007/02/28(Wed) 14:50:35)

(2)
例えばUに対するXの補集合を^Xと表すことにします。
　
上記の^Xとはどういう意味ですか？

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■22470 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 集合

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□投稿者/ X 付き人(64回)-(2007/02/28(Wed) 15:03:25)

Xの補集合を表す記号だと思って下さい。
（手書きではXの上に横棒を引っ張って表すのが普通ですが、TeXを使わない、文字だけの表記では難しいので便宜上、敢えてこのような表記にしています。）