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■22452 / inTopicNo.1) 　微分方程式の問題です
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□投稿者/ くろ馬 一般人(7回)-(2007/02/27(Tue) 22:56:27)
    A body of weight 32 lb is dropped from rest from height 100ft in a medium offering an air resistance proportional to velocity.


    If limiting velocity is 400 ft/sec, find the velocity and displacement at any time. Find the time at which velocity is 200ft/sec


    この問題の答えをどのように導くかがいまいち理解できません。どなたか解説をよろしくお願いします。

    答えは
    v=400(1-[e^(-2t/25)])

    x=100＋400t-5000(1-[e^(-2t/25)])

    v=200 when t=25(log√2)

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■22456 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 微分方程式の問題です
□投稿者/ 豆 付き人(74回)-(2007/02/28(Wed) 09:04:04)
    32lbの物体にかかる力は重力と速度に比例する抵抗なので、
    抵抗の比例定数をkとおけば、運動方程式は
    mdv/dt=mg-kv=-k(v-mg/k)
    dv/(v-mg/k)=-(k/m)dt
    積分して、
    v-mg/k=Ce^(-kt/m)　　C：積分定数
    t=0のとき、v=0なので、C=-mg/k
    ∴v=(mg/k)(1-e^(-kt/m))
    t→∞とすれば、限界速度v[limit]=mg/k
    題意よりこれが、400ft/secなので、
    mg/k=400
    k/m=g/400
    g=9.8(m/sec^2)=9.8/0.305=32.1(ft/sec^2)を代入して、
    k/m=0.08=2/25
    ∴v=400(1-e^(-2t/25))
    これを積分して、変位は
    x=D+400t+5000e^(-2t/25)　D:積分定数
    t=0のときx=100なので、D=100-5000
    ∴x=100+400t-5000(1-e^(-2t/25))
    速度が200ft/secになる時間は
    v=200=400(1-e^(-2t/25)とおいて、
    t=(25/2)log2

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■22507 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 微分方程式の問題です
□投稿者/ くろ馬 一般人(8回)-(2007/03/01(Thu) 13:52:57)
    豆さん
    とてもご丁寧な解説をしていただき大変ありがとうございます。



    私は、mdv/dt=-k(v-mg/k)とおくことに気付いておりませんでした・・・。
    とても勉強になりました。ありがとうございます。

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■22581 / inTopicNo.4) 　追加で質問させていただきます
□投稿者/ くろ馬 一般人(9回)-(2007/03/03(Sat) 12:30:18)
    上記の問題のAir resistance is proportional to (v^2)の場合ですと。

    m(dv/dt)= mg - K(v^2)

    m(dv/dt) = K[(mg/K)-(v^2)]

    dv/[(mg/K)-(v^2)] = K/m(dt)となると思いますが。　

    dvについての積分の解くために
    (arctan)'= 1/1+(x^2) も使えないと思いますしどのように解けばよろしいでしょうか？

    ちなみに解答は以下のようになっております。

    v = 400[1-(e^-25600t)]/[1+(e^-25600t)]

    x=(1/64)log{[1+(e^-25600t)][1+(e^+25600t)] + (100- (1/64)log(4)）

    かなりややこしい問題で申し訳ありませんが、どなたかご指導お願いいたします。

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■22582 / inTopicNo.5) 　Re[1]: 微分方程式の問題です
□投稿者/ X 付き人(70回)-(2007/03/03(Sat) 13:09:26)
    dv/[(mg/K)-(v^2)]
    =dv{1/[(√(mg/K)-v)(√(mg/K)+v)]}
    と変形して{}の中を部分分数分解してみましょう。
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■22623 / inTopicNo.6) 　Re[2]: 微分方程式の問題です
□投稿者/ くろ馬 一般人(10回)-(2007/03/04(Sun) 12:14:47)
    Xさん、解説ありがとうございます

    dv{1/[(√(mg/K)-v)(√(mg/K)+v)]}　＝(K/m)dt

    {}の中が自分には見慣れない微分方程式の形をしており、恥ずかしながら自分の知識不足で解くことが出来ませんでした。申し訳ございません・・・。


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