 | 2007/03/05(Mon) 09:43:55 編集(投稿者)
■No22634に返信(マナさんの記事)
> そこは分かったのですが、それ以降が分かりません。
(1)
a_(n+1)=S_(n+1)-S_n=(n+1)^2 a_(n+1)-S_n
∴ a_(n+1)=S_n/{n(n+2)}
よって
{(n+2)/(n+1)}S_(n+1)={(n+2)/(n+1)}(n+1)^2 a_(n+1)=(n+1)(n+2) a_(n+1)
=. . . ={(n+1)/n} S_n
(2)
（(1)を使ってもよいが、a_nを始めから出しておく)
a_n=S_n-S_(n-1) ：n≧2
=n^2 a_n-(n-1)^2 a_(n-1)
∴ (n^2-1)a_n=(n-1)^2 a_(n-1)
∴ a_n/a_(n-1) =(n-1)/(n+1)
これにn=2 , 3, 4, . . n と代入して、辺辺掛け合わせると
左辺：(a_2/a_1)(a_3/a_2)(a_4/a_3). . . (a_n/a_n-1)=a_n/a_1=a_n
右辺：(1/3)(2/4)(3/5). . . . {(n-2)/n}{(n-1)(n+1)}=2/{n(n+1)}
∴ a_n=2/{n(n+1)} ： n=1のときも適する。
Σ[1…n]1/a_k=(1/2)Σ[1…n](k^2+k)
=(1/2){(1/6)n(n+1)(2n+1)+n(n+1)/2}
=. . .
=(1/6)n(n+1)(n+2)
|
