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■22329 / inTopicNo.1) 　ｎ次導関数～ライプニッツの公式
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□投稿者/ ちょこ 一般人(1回)-(2007/02/23(Fri) 15:44:48)
    y=(x^2-1)^nとおく。このとき(x^2-1)y^(n+2)+2xy^(n+1)-n(n+1)y^(n)=0を示せ。

    ただしy^(n)はｙのｎ次関数とする。

    ライプニッツの公式を利用して解くようなのですが、解けません。
    お願いします。
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■22330 / inTopicNo.2) 　Re[1]: ｎ次導関数～ライプニッツの公式
□投稿者/ ゼロ 一般人(46回)-(2007/02/23(Fri) 16:25:51)
    2007/02/23(Fri) 16:44:02 編集(投稿者)

    微分演算子をDで表します。
    ライプニッツの法則より、性質の良い関数f(x)に対して
    D^(n+1)[xf(x)]=(n+1)D^n[f(x)]+xD^(n+1)[f(x)]・・・①

    これより、
    D^(n+2)[x^2f(x)]=(n+2)D^(n+1)[xf(x)]+xD^(n+2)[xf(x)]
    もう一度①を用いて、

    =(n+2)(n+1)D^n[f(x)]+2(n+2)xD^(n+1)[f(x)]+x^2D^(n+2)[f(x)]
    よって、
    D^(n+2)[(x^2-1)f(x)]=(n+2)(n+1)D^n[f(x)]+2(n+2)xD^(n+1)[f(x)]
    +(x^2-1)D^(n+2)[f(x)]
    f(x)=(x^2-1)^nを代入すると、

    D^(n+2)[(x^2-1)^(n+1)]=(n+2)(n+1)y^(n)+2(n+2)xy^(n+1)+(x^2-1)y^(n+2)・・・②

    一方D^(n+2)[(x^2-1)^(n+1)]=2(n+1)D^(n+1)[x(x^2-1)^n]
    これに再び①を用いて、
    =2(n+1)^2y^(n)+2(n+1)xy^(n+1)・・・③
    ②=③より、
    (n+2)(n+1)y^(n)+2(n+2)xy^(n+1)+(x^2-1)y^(n+2)=2(n+1)^2y^(n)+2(n+1)xy^(n+1)

    これを整理すると、
    (x^2-1)y^(n+2)+2xy^(n+1)-n(n+1)y^(n)=0



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■22332 / inTopicNo.3) 　Re[2]: ｎ次導関数～ライプニッツの公式
□投稿者/ ちょこ 一般人(2回)-(2007/02/23(Fri) 16:53:17)
    有難うございます。
    D^(n+1)[xf(x)]=(n+1)D^n[f(x)]+xD^(n+1)[f(x)]・・・①

    この式のD^nはD^(n)でしょうか？
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■22334 / inTopicNo.4) 　Re[3]: ｎ次導関数～ライプニッツの公式
□投稿者/ ゼロ 一般人(48回)-(2007/02/23(Fri) 20:01:47)
    あ、すみません。その通りです。
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■22390 / inTopicNo.5) 　Re[4]: ｎ次導関数～ライプニッツの公式
□投稿者/ ちょこ 一般人(3回)-(2007/02/26(Mon) 08:38:29)
    解答ありがとうございました。
解決済み!
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■22391 / inTopicNo.6) 　Re[5]: ｎ次導関数～ライプニッツの公式
□投稿者/ ちょこ 一般人(4回)-(2007/02/26(Mon) 09:58:09)
    微分演算子Dという言葉を始めて聞きました（汗
    よかったら教えてください(__)
    あと
    D^(n+1)[xf(x)]=(n+1)D^n[f(x)]+xD^(n+1)[f(x)]・・・①
    の式はライプニッツの公式を変形したものでしょうか？
    とりあえず解答をいただけたので土日をつかって理解しようとしたのですが
    無理でした・・
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■22392 / inTopicNo.7) 　Re[6]: ｎ次導関数～ライプニッツの公式
□投稿者/ ゼロ 一般人(49回)-(2007/02/26(Mon) 10:02:18)
    微分演算子Dというのは微分を正直に書くのが面倒くさかったので、略記を
    使っただけです。

    正しくはd/dxのことです。

    D^(n+1)[xf(x)]=(n+1)D^n[f(x)]+xD^(n+1)[f(x)]
    はライプニッツの公式

    D^(n)[g(x)f(x)]=Σ_{k=0～n}n_C_k D^(k)g(x)・D^(n-k)f(x)

    をg(x)=xに対して適用したものです。
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■22784 / inTopicNo.8) 　Re[7]: ｎ次導関数～ライプニッツの公式
□投稿者/ ちょこ 一般人(6回)-(2007/03/11(Sun) 19:39:38)
    遅レスですが解答ありがとうございました。
    そこでまた質問なのですが、y=(x^2-1)^nを１回微分したものにライプニッツの
    定理を適用して解くことはできますか？宜しくお願いします
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■22787 / inTopicNo.9) 　横すれ
□投稿者/ 白拓 大御所(718回)-(2007/03/11(Sun) 20:35:40)
    ■No22784に返信(ちょこさんの記事)
    > 遅レスですが解答ありがとうございました。
    > そこでまた質問なのですが、y=(x^2-1)^nを１回微分したものにライプニッツの
    > 定理を適用して解くことはできますか？宜しくお願いします

    y=(x^2-1)^n
    y'=2nx(x^2-1)^(n-1)
    両辺に(x^2-1)を掛けると(x^2-1)y'=2nxy
    両辺xでn+1回微分すると、
    　[n+1]C[0](x^2-1)y^(n+2)+[n+1]C[1]2xy^(n+1)+[n+1]C[2]2y^(n)
    =[n+1]C[0]2nxy^(n+1)+[n+1]C[1]2ny^(n)
    整理して、
    　(x^2-1)y^(n+2)+2xy^(n+1)-n(n+1)y^(n)=0
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■22789 / inTopicNo.10) 　Re[9]: 横すれ
□投稿者/ ちょこ 一般人(7回)-(2007/03/11(Sun) 21:39:51)
    わかりやすい解答有難う御座いました!すっきりしました
解決済み!
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