数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[11]: 写像 / Page: 0]

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■22059 / inTopicNo.1)

　写像

□投稿者/ かえる一般人(1回)-(2007/02/16(Fri) 21:52:49)

以前に、「一般人」さんからあった質問です。

************************************************************************
次の写像ｆに対し、A={(x,y)｜x^2+y^2＜1}
の像f(A)を図示せよ。

f:R^2→R^2,f(x,y)=(x+y,xy)
************************************************************************
これに対し、次のような解答を別の掲示板で見つけました。

X=x+y, Y=xy とおくと，x^2+y^2=(x+y)^2-2xy より，X^2-2Y＜1 となります。
一方，x，y は実数ですから (x-y)^2≧0 です。
したがって，(x-y)^2=(x+y)^2-4xy より，X^2-4Y≧0 でなければなりません。
以上より，ふたつの放物線 y=(x^2-1)/2 と y=x^2/4 で囲まれた部分が
f による A の像 f(A) であることがわかりました。
正確には，y＞(x^2-1)/2 より y=(x^2-1)/2 のグラフの上側であり，
かつ y≦x^2/4 より y=x^2/4 上の点またはそれよりも下にあるような点です。
そしてこれらの交点 (±√2,1/2) はどちらも含みません。
************************************************************************
この中で、２行目の「一方」からの部分がいきなり出てくる意味がわかりませんので教えてください。確かにそのとおりだと思うのですが、技巧として、知っていなければならないのでしょうか。

お願いします。

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■22064 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 写像

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□投稿者/ dim 1,2 一般人(1回)-(2007/02/17(Sat) 00:58:29)

In[604]:=
Solve[t^2 - X*t + Y == 0, t]

Out[604]=
{{t -> 1/2*(X - Sqrt[X^2 - 4*Y])},
{t -> 1/2*(X + Sqrt[X^2 - 4*Y])}}

で実数解との要請で；X^2-4Y≧0 でなければなりません
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
************************************************************************
次の写像ｆに対し、A={(x,y,z)｜x^2+y^2+z^2＜1}
の像f(A)を図示せよ。

f:R^3→R^3,f(x,y)=(x+y+z,xy+yz+zx,xyz)

************************************************************************
　　　と　次元をひとつ上げ　に　満足せず

もっと　もっと　と　非低次元　な　話に　拡張し、　止揚を！

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■22083 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 写像

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□投稿者/ かえる一般人(2回)-(2007/02/17(Sat) 21:25:50)

すみません。もう少しわかりやすくお願いします。

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■22088 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 写像

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□投稿者/ dim 1 一般人(1回)-(2007/02/18(Sun) 00:05:05)

X=x+y, Y=xy が　実数<----> x,y が　実数（同値）

t^2-X*t+Y=0を解き　上のように
1/2*(X - Sqrt[X^2 - 4*Y]),
1/2*(X + Sqrt[X^2 - 4*Y])
なり

実数解なる要請があるので　解の Sqrt[] の中身が
X^2-4Y≧0 でなければなりません
--------------------------------------
非線型写像　F ;(x,y)----->(X,Y)=(x+y,x*y)
の局所的　逆写像F^(-1)を　求め
解決する　手法も　推奨致します。
是非　試みて　下さい！

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■22147 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 写像

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□投稿者/ かえる一般人(3回)-(2007/02/19(Mon) 03:20:21)

■No22088に返信(dim 1さんの記事)
> X=x+y, Y=xy が　実数<----> x,y が　実数（同値）
>
> t^2-X*t+Y=0を解き　上のように

t^2-X*t+Y=0　はどうして出てくるのですか？　

また、前回の書き込みで、In[604]:=　とはどういう意味ですか？

お願いします。

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■22217 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 写像

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□投稿者/ かえる一般人(4回)-(2007/02/20(Tue) 20:50:47)

誰かお願いします。

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■22223 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 写像

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□投稿者/ だるまにおん付き人(71回)-(2007/02/20(Tue) 21:36:00)

書き込もうとすると　ERROR-「糸連」は使用できません！　というのが出てきてしまって書き込めないのですが、どういうことなんでしょうか？

糸連は糸偏につくりが連の漢字です。

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■22224 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 写像

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□投稿者/ だるまにおん付き人(72回)-(2007/02/20(Tue) 21:41:40)

あれ・・・書き込めた。

数式を書き込むとERRORになってしまいます。

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■22227 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 写像

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□投稿者/ だるまにおん付き人(75回)-(2007/02/20(Tue) 22:25:24)

$2$t^2+Xt+Y=0$ の判別式が $2$0$ 以上であることより $2$X^2-4Y\geq0$ が得られます．

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■22298 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 写像

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□投稿者/ かえる一般人(5回)-(2007/02/22(Thu) 20:56:13)

■No22227に返信(だるまにおんさんの記事)
> $2$t^2+Xt+Y=0$ の判別式が $2$0$ 以上であることより $2$X^2-4Y\geq0$ が得られます．

$2$t^2+Xt+Y=0$ はどうして出てくるのですか。

お願いします。

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■22299 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 写像

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□投稿者/ ウルトラマンベテラン(222回)-(2007/02/22(Thu) 21:07:59)

かえるさん，こんばんわ．

> ■No22227に返信(だるまにおんさんの記事)
>> $2$t^2+Xt+Y=0$ の判別式が $2$0$ 以上であることより $2$X^2-4Y\geq0$ が得られます．
>
> $2$t^2+Xt+Y=0$ はどうして出てくるのですか。
>
> お願いします。

横レス失礼します．

２次方程式の解と係数の関係はご存知でしょうか？
$2$ \left\{ \begin{array}{l} x+ y = X \\ xy = Y \end{array} \right.$
より， $2$x,y$ は $2$t$ の２次方程式：
$2$ t^{2}-Xt+Y = 0$
の２解です．そして， $2$x,y$ は実数であるから，この２次方程式は実数解をもつことが必要となるため，判別式の条件より
$2$ D = X^{2} - 4Y \geq 0$
が出てくるわけです．

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■22327 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 写像

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□投稿者/ かえる一般人(6回)-(2007/02/23(Fri) 14:31:55)

ようやくわかりました。

ありがとうございました。

解決済み!

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