数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 三角関数の不等式 / Page: 0]

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■21913 / inTopicNo.1)

　三角関数の不等式

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□投稿者/ 高校生一般人(4回)-(2007/02/12(Mon) 14:28:13)

2SINxSIN3x>(SIN^2)xという式なのですが
解き方が分かりません

値域は0<=x<2πです

お願いします

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■21914 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数の不等式

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(666回)-(2007/02/12(Mon) 15:27:19)

■No21913に返信(高校生さんの記事)
> 2SINxSIN3x>(SIN^2)xと
$2$2\sin x\sin 3x>\sin ^2x$
$2$2\sin x(3\sin x-4\sin ^3x)>\sin ^2x$
$2$6\sin ^2x-8\sin ^4x>\sin ^2x$
$2$5\sin ^2x>8\sin ^4x$
x≠0,πのとき
$2$5>8\sin ^2x$
それ以外のとき
$2$\sin ^2x(8\sin ^2x-5)<0$

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■21917 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角関数の不等式

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□投稿者/ 高校生一般人(5回)-(2007/02/12(Mon) 16:31:35)

有り難うございます

この問題の答えは
π/4＜ｘ＜3π/4,　π＜ｘ＜5π/4,　7π/4＜ｘ＜2π
なんですがどうやったら求められるのでしょうか？

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■21918 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角関数の不等式

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□投稿者/ X 一般人(41回)-(2007/02/12(Mon) 17:31:46)

横から失礼します。
平木さんの過程に付け加える形で回答します。
2sinxsin3x>(sinx)^2
より
5(sinx)^2>8(sinx)^4
ここでsinx=tと置くと
5t^2>8t^4
∴(8t^2-5)t^2<0
ここで0≦x<2πより-1≦t≦1となることに注意すると
-√(5/8)<t<0,0<t<√(5/8)
∴-√(5/8)<sinx<0,0<sinx<√(5/8)
これを満たすxは
＞＞π/4＜ｘ＜3π/4,　π＜ｘ＜5π/4,　7π/4＜ｘ＜2π
とはなりません。
（問題にタイプミスはありませんか？）

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■21920 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角関数の不等式

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□投稿者/ 高校生一般人(6回)-(2007/02/12(Mon) 17:50:26)

2007/02/12(Mon) 18:20:25 編集(投稿者)

平木慎一郎さんＸさんすいません
(SIN^2)xではなく(SIN^2)2xでした

改めてお願いします

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■21966 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三角関数の不等式

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(672回)-(2007/02/13(Tue) 11:26:04)

> (SIN^2)xではなく(SIN^2)2xでした
$2$\sin ^22x=4\sin ^2x\cos ^2x$ より
$2$\sin ^2x-2\sin ^4x>0$
$2$\sin ^2x(1-2\sin ^2x)>0$
$2$\sin ^2x>\frac{1}{2}$
$2$\sin x>\sqrt{\frac{1}{2}},\sin x<-\sqrt{\frac{1}{2}}$
sinx=1/√2からx=π/4,3π/4, =-1/√2から5π/4,7π/4
$2$\frac{\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{4}$
角度がπを越えた後はsinxは-1/√2より小さくならなければなりませんから
解答の通りです。(πは含まないことから)

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■21980 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 三角関数の不等式

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□投稿者/ 高校生一般人(8回)-(2007/02/13(Tue) 22:20:32)

2007/02/13(Tue) 22:26:11 編集(投稿者)

有り難うございます

前回の計算と合わせると

2SINxSIN3x>(SIN^2)2x
(SIN^2)x(6-8SIN^2)>(SIN^2)x(4-4SIN^2x)
(-4SIN^2)x>-2
(SIN^2)x<1/2
∴-1/√2<SINx<1/√2
となってしまいます
どこがいけないのでしょう？

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