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■21904
/ inTopicNo.1)
曲線の長さ
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□投稿者/ digi
付き人(97回)-(2007/02/12(Mon) 02:29:40)
極座標
で表される曲線の0≦θ≦π/2の長さを求めたいのですが、
であってますか?
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■21907
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 曲線の長さ
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□投稿者/ ウルトラマン
ファミリー(199回)-(2007/02/12(Mon) 03:02:32)
digiさん,こんばんわ.
> 極座標
で表される曲線の0≦θ≦π/2の長さを求めたいのですが、
>
> であってますか?
えぇ〜と不安なら,じっくりと計算してみましょう.
極座標で,
と表せるとき,
ですから,曲線の長さは
となります.
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■21909
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 曲線の長さ
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■
□投稿者/ 豆
付き人(72回)-(2007/02/12(Mon) 09:53:32)
以下でもよいかと。
P(r,θ)とQ(r+dr,θ+dθ)の距離をdsとすると、
OQ上にR(r,θ+dθ)をとれば、
PQ^2=PR^2+RQ^2
(ds)^2=(rdθ)^2+(dr)^2
=(rdθ)^2+(dr/dθ・dθ)^2
=(r^2+r’^2)(dθ)^2
∴s=∫√(r^2+r’^2)dθ
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■21911
/ inTopicNo.4)
Re[3]: 曲線の長さ
▲
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■
□投稿者/ digi
付き人(99回)-(2007/02/12(Mon) 13:32:18)
ありがとうございます。
代入すると、
となりますが、これってどうやって計算すればいいのでしょうか?
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■21915
/ inTopicNo.5)
Re[4]: 曲線の長さ
▲
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■
□投稿者/ 平木慎一郎
大御所(667回)-(2007/02/12(Mon) 15:40:06)
■
No21911
に返信(digiさんの記事)
横から失礼します。
不定積分だけ求めてみました。
引用返信
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■21928
/ inTopicNo.6)
Re[5]: 曲線の長さ
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□投稿者/ digi
軍団(101回)-(2007/02/12(Mon) 19:11:55)
どうやって求めたのでしょうか?簡単でいいので説明していただけますか?
引用返信
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■21947
/ inTopicNo.7)
Re[6]: 曲線の長さ
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□投稿者/ だるまにおん
一般人(31回)-(2007/02/13(Tue) 00:24:41)
横から失礼します。おそらく平木慎一郎さんは
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
に計算させただけだと思います。が、しかし、掲示板に書き込む際に、括弧を書き忘れていらっしゃるし、1/cosxの位置を間違えていらっしゃるし……。とにかく、No21915のことは見なかったことにした方が良さそうです。
0≦θ≦π/2でcosθ≧0なので
∫[0→π/2]√{(cosθ)^4+4(sinθ)^2(cosθ)^2}dθ
=∫[0→π/2]cosθ√{3(sinθ)^2+1}dθ
=(1/√3)∫[0→√3]√(t^2+1)dt (√3sinθ=tと置換)
=…
で計算できると思います。
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■21965
/ inTopicNo.8)
Re[7]: 曲線の長さ
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□投稿者/ 平木慎一郎
大御所(671回)-(2007/02/13(Tue) 11:06:03)
はい、だるまにおんさんの指摘どおりです。余計な書き込みでした。
失礼しました。
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■21974
/ inTopicNo.9)
Re[8]: 曲線の長さ
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□投稿者/ digi
軍団(103回)-(2007/02/13(Tue) 14:48:56)
平木慎一郎さん、だるまにおんさん、どうもありがとうございました!
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