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■21904 / inTopicNo.1)  曲線の長さ
  
□投稿者/ digi 付き人(97回)-(2007/02/12(Mon) 02:29:40)
    極座標で表される曲線の0≦θ≦π/2の長さを求めたいのですが、

    であってますか?
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■21907 / inTopicNo.2)  Re[1]: 曲線の長さ
□投稿者/ ウルトラマン ファミリー(199回)-(2007/02/12(Mon) 03:02:32)
    digiさん,こんばんわ.

    > 極座標で表される曲線の0≦θ≦π/2の長さを求めたいのですが、
    >
    > であってますか?

    えぇ〜と不安なら,じっくりと計算してみましょう.
    極座標で,と表せるとき,

    ですから,曲線の長さは

    となります.

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■21909 / inTopicNo.3)  Re[2]: 曲線の長さ
□投稿者/ 豆 付き人(72回)-(2007/02/12(Mon) 09:53:32)
    以下でもよいかと。
    P(r,θ)とQ(r+dr,θ+dθ)の距離をdsとすると、
    OQ上にR(r,θ+dθ)をとれば、
    PQ^2=PR^2+RQ^2
    (ds)^2=(rdθ)^2+(dr)^2
        =(rdθ)^2+(dr/dθ・dθ)^2
        =(r^2+r’^2)(dθ)^2
    ∴s=∫√(r^2+r’^2)dθ

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■21911 / inTopicNo.4)  Re[3]: 曲線の長さ
□投稿者/ digi 付き人(99回)-(2007/02/12(Mon) 13:32:18)
    ありがとうございます。

    代入すると、

    となりますが、これってどうやって計算すればいいのでしょうか?
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■21915 / inTopicNo.5)  Re[4]: 曲線の長さ
□投稿者/ 平木慎一郎 大御所(667回)-(2007/02/12(Mon) 15:40:06)
    No21911に返信(digiさんの記事)
    横から失礼します。
    不定積分だけ求めてみました。

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■21928 / inTopicNo.6)  Re[5]: 曲線の長さ
□投稿者/ digi 軍団(101回)-(2007/02/12(Mon) 19:11:55)
    どうやって求めたのでしょうか?簡単でいいので説明していただけますか?
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■21947 / inTopicNo.7)  Re[6]: 曲線の長さ
□投稿者/ だるまにおん 一般人(31回)-(2007/02/13(Tue) 00:24:41)
    横から失礼します。おそらく平木慎一郎さんはhttp://integrals.wolfram.com/index.jspに計算させただけだと思います。が、しかし、掲示板に書き込む際に、括弧を書き忘れていらっしゃるし、1/cosxの位置を間違えていらっしゃるし……。とにかく、No21915のことは見なかったことにした方が良さそうです。

    0≦θ≦π/2でcosθ≧0なので
    ∫[0→π/2]√{(cosθ)^4+4(sinθ)^2(cosθ)^2}dθ
    =∫[0→π/2]cosθ√{3(sinθ)^2+1}dθ
    =(1/√3)∫[0→√3]√(t^2+1)dt (√3sinθ=tと置換)
    =…
    で計算できると思います。
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■21965 / inTopicNo.8)  Re[7]: 曲線の長さ
□投稿者/ 平木慎一郎 大御所(671回)-(2007/02/13(Tue) 11:06:03)
    はい、だるまにおんさんの指摘どおりです。余計な書き込みでした。
    失礼しました。
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■21974 / inTopicNo.9)  Re[8]: 曲線の長さ
□投稿者/ digi 軍団(103回)-(2007/02/13(Tue) 14:48:56)
    平木慎一郎さん、だるまにおんさん、どうもありがとうございました!
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