数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 対角化 / Page: 0]

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■21900 / inTopicNo.1)

　対角化

□投稿者/ digi 付き人(95回)-(2007/02/11(Sun) 23:31:59)

たとえば、
$2$A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\-1&-1&3 \end{pmatrix}$
の固有値と固有ベクトルは、
$2$\lambda=1$ のとき、 $2$\vec{x_1}=c_1\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}$
$2$\lambda=2$ のとき、 $2$\vec{x_2}=c_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0 \end{pmatrix} +c_3 \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$
ですが、 $2$A$ を対角化するときに固有ベクトルは2個しかないので普通は対角化できませんよね？

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■21901 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 対角化

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(197回)-(2007/02/12(Mon) 00:00:22)

digiさん，こんばんわ．

> たとえば、
> $2$A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\-1&-1&3 \end{pmatrix}$
> の固有値と固有ベクトルは、
> $2$\lambda=1$ のとき、 $2$\vec{x_1}=c_1\begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}$
> $2$\lambda=2$ のとき、 $2$\vec{x_2}=c_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0 \end{pmatrix} +c_3 \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$
> ですが、 $2$A$ を対角化するときに固有ベクトルは2個しかないので普通は対角化できませんよね？

$2$A$ は $2$3$ 次行列であるため， $2$A$ が対角化可能であるためには， $2$A$ が $2$1$ 次独立な $2$3$ 個の固有ベクトルをもつことが必要十分となります．（※但し，証明に関しては結構面倒です．線形代数の教科書に必ずのっているので，そちらを参照してください．）

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■21902 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 対角化

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□投稿者/ digi 付き人(96回)-(2007/02/12(Mon) 02:23:17)

では、 $2$A$ は対角化できないのでしょうか？

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■21906 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 対角化

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(198回)-(2007/02/12(Mon) 02:54:55)

digiさん，こんばんわ．

> では、 $2$A$ は対角化できないのでしょうか？

えぇ～と， $2$A$ が $2$1$ 次独立な $2$3$ 個の固有ベクトルを持たないのであれば，対角化することが出来ません．

ＰＳ．その前に，digiさんの計算は本当にあってますでしょうか？
僕の方でちょっと検算して見たところ，
$2$ \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$
は $2$A$ の固有ベクトルになっていないような気がしますが．．．

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■21910 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 対角化

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□投稿者/ digi 付き人(98回)-(2007/02/12(Mon) 13:29:56)

なってないでしょうか？多分あってると思うのですが？

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■21925 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 対角化

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□投稿者/ ウルトラマンベテラン(202回)-(2007/02/12(Mon) 18:10:26)

digiさん，こんばんわ．

> なってないでしょうか？多分あってると思うのですが？

えぇ～と，ではやってみましょう．
$2$ A\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$

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■21926 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 対角化

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□投稿者/ ウルトラマンベテラン(203回)-(2007/02/12(Mon) 18:11:51)

■No21925に返信(ウルトラマンさんの記事)
> digiさん，こんばんわ．
>
>>なってないでしょうか？多分あってると思うのですが？
>
> えぇ～と，ではやってみましょう．
> $2$ A\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$

あ，大変失礼しました．
確かに固有ベクトルになってますね．
（※僕の計算間違いでした．すみません<m(__)m>）

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■21927 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 対角化

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□投稿者/ digi 軍団(100回)-(2007/02/12(Mon) 19:09:35)

それで $2$A$ は対角化できますか？

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■21930 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 対角化

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□投稿者/ ウルトラマンベテラン(205回)-(2007/02/12(Mon) 19:20:24)

digiさん，こんばんわ．

> それで $2$A$ は対角化できますか？

えぇ～と，何度も言うように， $2$A$ が１次独立な固有ベクトルを $2$3$ つもつかどうかを調べればよいわけです．

っで，実際， $2$A$ は固有ベクトルを
$2$ \vec{x}_{1} = \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\\ \vec{x}_{2} = \left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\\ \vec{x}_{3} = \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$
と３つ持つわけです．従って，後は $2$\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}$ が $2$1$ 次独立かどうかを調べればよいわけです．

結論を急ぐのは分かりますが，数学なので，ちょっとは自分で考えた方がいいですよ．

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■21931 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 対角化

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□投稿者/ digi 軍団(102回)-(2007/02/12(Mon) 19:57:39)

すみません。

私が読んでいる本でも、
$2$\vec{x_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
$2$\vec{x_2}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$
$2$\vec{x_3}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
が固有ベクトルと書いてあるのですが、これは $2$c_1=c_2=c_3$ とおいているということでしょうか？それなら、固有ベクトルは、
$2$\vec{x_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
$2$\vec{x_2}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$
ではないのですか？

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■21932 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 対角化

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□投稿者/ ウルトラマンベテラン(206回)-(2007/02/12(Mon) 20:16:27)

digiさん，こんばんわ．

> すみません。
>
> 私が読んでいる本でも、
> $2$\vec{x_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
> $2$\vec{x_2}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$
> $2$\vec{x_3}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$
> が固有ベクトルと書いてあるのですが、これは $2$c_1=c_2=c_3$ とおいているということでしょうか？

もう一度，固有ベクトルの定義を読み直して見ましょう．

$2$n$ 次の正方行列 $2$A$ に対して，実数 $2$\lambda$ ，実ベクトル $2$\vec{x}\ne \vec{0}$ が存在し，
$2$ A\vec{x} = \lambda\vec{x}$
が成立するとき， $2$\vec{x}$ を $2$A$ の固有ベクトル， $2$\lambda$ を $2$A$ の固有ベクトルと呼ぶわけですね．

っで，上記 $2$\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}$ は上の条件をすべて満足しますよね．だから， $2$\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}$ は $2$A$ の固有ベクトルと言えます．たったこれだけのことです．

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