 | やまともさん，こんばんわ．
> 座標平面において、放物線y=x^2+1上の異なる2点P(a,a^2+1),Q(b,b^2+1) (a＜b)に対して点Pにおける接線と点Qにおける接線の交点をRとおく。
> [１]⊿PQRが正三角形となるような点Rの座標を求めよ。またこのときの正三角形の一辺の長さを求めよ。
> [２]点Rが直線y=x上にあるとき∠PRQが直角となるような点Rの座標をもとめよ。またこのときの線分PQの長さを求めよ。
>
[1]は回転行列を利用すると楽です．
 より， であるから，点 での接線の方程式はそれぞれ，
+(a^{2}+1)=2ax-a^{2}+1,%5c%5c
l_{Q}:y=2b(x-b)+(b^{2}+1)=2bx-b^{2}+1
)
であり，この２式を連立することにより，
)
よって，
-%5cleft(a,a^{2}+1%5cright)%20%5c%5c
=%5cleft(%5cfrac{b-a}{2},ab-a^{2}%5cright),%20%5c%5c
%5cvec{RQ}%20=%20%5cleft(%5cfrac{a-b}{2},ab-b^{2}%5cright)
)
であるから， が正三角形となるための必要十分条件は，
「 を点 を中心として半時計周りに回転して となること」
であるから，
%20&%20-%5csin%20%20(%5cpi/3)%20%5c%5c
%5csin%20%20(%5cpi/3)%20&%20%5ccos%20%20(%5cpi/3)%20
%5cend{array}
%5cright)
%5cleft(
%5cbegin{array}{c}
%5cfrac{a-b}{2}%20%5c%5c
ab-b^{2}
%5cend{array}
%5cright)
=
%5cleft(
%5cbegin{array}{c}
%5cfrac{b-a}{2}%20%5c%5c
ab-a^{2}
%5cend{array}
%5cright)%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cleft%5c{
%5cbegin{array}{l}
%5cfrac{1}{2}-%5csqrt{3}b=1%20%5c%5c
%5cfrac{%5csqrt{3}}{2}+b%20=%202a
%5cend{array}
%5cright.%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20a=%5cfrac{%5csqrt{3}}{3},b=%5cfrac{%5csqrt{3}}{6}
)
よって，の座標は，
ってな感じになります．
[2]は単純に と が直交することから，
また，) が直線 上にあることから，
が成立するので，この連立方程式を解けばいいでしょう．
>
>
> 今年の東京理科大学の入試問題です。
> 家で解きなおそうと思ったのですが、わからないので教えてください。
> お願いします。
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